Os três elementos da estrutura têm peso por unidade de comprimento de
pé cada um. Localize a posição (
) do centro de gravidade da estrutura. Calcule também as reações no apoio fixo em A.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informações dadas:
- Os três elementos da estrutura têm peso por unidade de comprimento igual a
cada um. - Existe um apoio fixo em
. - Não foram fornecidas no enunciado as posições geométricas, comprimentos ou coordenadas dos elementos nem a posição do apoio
.
- Os três elementos da estrutura têm peso por unidade de comprimento igual a
- Perguntas pedidas:
- Localizar a posição do centro de gravidade da estrutura, isto é, determinar
e . - Calcular as reações no apoio fixo em
(componentes de força e momento no apoio).
- Localizar a posição do centro de gravidade da estrutura, isto é, determinar
Passo 2
O que é necessário para resolver numericamente (lista de dados que falta):
- Para cada elemento
é necessário conhecer ou poder obter: - O comprimento
(em ). - As coordenadas do centróide do elemento
no sistema de referência escolhido (por exemplo, com origem em ou outro ponto conveniente). - Alternativamente, as coordenadas dos extremos do elemento, para então calcular
e .
- O comprimento
- A posição da origem do sistema de coordenadas (recomenda-se escolher a origem em
para facilitar o cálculo das reações).
Sem esses dados geométricos, não é possível calcular valores numéricos paranem para as reações em . A seguir eu ensino passo a passo o procedimento geral que você aplicaria no exame assim que tiver as medidas.
Passo 3
Passo a passo (teoria e fórmulas) para encontrar o centro de gravidade da estrutura composta por três elementos com peso linear uniforme:
- Denotar o peso por unidade de comprimento por
- Para cada elemento
calcular o peso total do elemento: onde é o comprimento do elemento em .
Explicação:tem unidades e multiplicando por comprimento temos , que é força-peso. - O centróide de um elemento reto uniforme (uma barra/linha) com extremos
e é o ponto médio; suas coordenadas são Explicação: para uma barra uniforme a massa/peso está uniformemente distribuído, logo a resultante está concentrada no ponto médio. - O comprimento da barra é dado por
Explanação: fórmula da distância entre dois pontos no plano. - Depois de obter
e para , calcula-se as primeiras momentos e o centro de gravidade da estrutura composta: Observação prática: como e é o mesmo para todos os elementos, a constante cancela nas fórmulas de e ; portanto Explicação: o centróide de um conjunto de massas é a soma dos momentos dividida pela soma das massas; aqui as “massas” são os pesos .
Passo 4
Como determinar as reações no apoio fixo em
(metodologia e equações de equilíbrio):
- Identificar as incógnitas do apoio fixo em
. Num problema plano (2D) um apoio fixo fornece: - Reação horizontal
. - Reação vertical
. - Momento de reação
(momento torsor no apoio).
- Reação horizontal
- Assumir convenções: escolher sentido positivo para forças e momentos (por exemplo, forças positivas para cima/direita e momento positivo no sentido anti-horário). Colocar a origem em
facilita os momentos. - Escrever as equações de equilíbrio estático (para cargas estáticas no plano):
- Aplicar ao caso das cargas-peso somente verticais (peso atua para baixo):
- Não há cargas horizontais externas, logo
Explicação: se não há forças horizontais aplicadas pela estrutura, o apoio não precisa de reação horizontal para equilibrar. - Equilíbrio vertical:
Explicação: a reação vertical do apoio deve sustentar a soma dos pesos. - Equilíbrio de momentos em relação a
(momentos causados pelos pesos em torno de ): - Para um peso
aplicado na posição (origem em ), o braço de momento para uma força vertical é a coordenada horizontal . Considerando sinais, uma força descendente em tende a girar no sentido horário; com a convenção momento positivo anti-horário, o momento da força sobre é . Escrevendo a equação de equilíbrio e isolando obtém-se - Em palavras: o momento resistente no apoio
deve equilibrar o momento total causado pelos pesos em relação a . Se algum for negativo (centróide à esquerda da origem), então será negativo e reduzirá o momento total.
- Para um peso
- Não há cargas horizontais externas, logo
- Substituindo
obtém-se, em termos dos comprimentos e coordenadas: onde é a abscissa do centróide do elemento medida a partir de . Explicação de unidades: em , em .
Passo 5
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar aplicação numérica do método — NÃO é a solução do seu problema porque eu não devo inventar dados do enunciado):
- Suponha hipoteticamente que os comprimentos sejam
e que os centróides (medidos a partir de ) tenham abscissas e ordenadas (todos na mesma linha horizontal só para exemplificar). - Então
dá . - Centro de gravidade (horizontal):
- Reações:
Observação: este exemplo é só para treinar o cálculo; substitua pelos dados reais do seu enunciado quando os tiver.
Passo 6
Resumo prático do que você deve fazer no exame (check-list rápida):
- Escolher origem (recomendo
). - Para cada elemento: obter as coordenadas dos extremos, calcular
e o centróide . - Calcular
. - Calcular
e por , . - Escrever as equações de equilíbrio:
, , (ajustando sinais se houver centróides à esquerda da origem). - Verificar unidades e consistência de sinais.
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos para
,
e para as reações em
porque o enunciado não forneceu as posições geométricas (comprimentos
nem coordenadas dos centróides ou dos extremos dos três elementos) nem a localização da origem/apoio
.
Expressões gerais (válidas assim que os dados geométricos estiverem disponíveis):
com
e
coordenadas dos centróides medidas a partir de
.