Em um eixo de máquina submetido a torção e flexão simultaneamente, como a análise de transformação de tensão e o Círculo de Mohr podem ser utilizados para identificar os pontos críticos de falha por fadiga? Relacione a orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento com as possíveis trincas de fadiga.

Passo 1

O enunciado trata de um eixo submetido simultaneamente à flexão (momento fletor M) e à torção (torque T) e pergunta como usar a transformação de tensões e o Círculo de Mohr para achar os pontos críticos de falha por fadiga. Vamos precisar:
– Representar o estado plano de tensão num ponto da superfície do eixo;
– Construir o Círculo de Mohr e extrair as tensões principais e de cisalhamento máximas;
– Determinar as orientações desses planos em relação ao eixo e relacionar com as potenciais trincas de fadiga.

Passo 2

Num ponto da superfície do eixo, o estado de tensão plano é dado por
\sigma_x = \dfrac{M c}{I} (normal devido à flexão) e
\tau_{xy} = \dfrac{T c}{J} (cisalhamento devido à torção),
onde c é o raio do eixo, I o momento de inércia da seção e J o momento polar.

Passo 3

Para montar o Círculo de Mohr, calculamos o centro C e o raio R:
C = \frac{\sigma_x}{2}, \qquad R = \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x}{2}\Bigr)^2 + \tau_{xy}^2}.
As tensões principais são
\sigma_{1,2} = C \pm R
e o cisalhamento máximo é
\tau_{\max} = R.

Passo 4

As direções dos eixos principais medem-se a partir da direção x (eixo do eixo) pelo ângulo \theta_p que satisfaz
\tan(2\theta_p) = \frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x}.
Os planos de máxima cisalha estão rotacionados de
\theta_s = \theta_p \pm 45^\circ
em relação ao eixo x.

Passo 5

Em fadiga, as trincas normalmente iniciam nos planos de máxima tensão de cisalhamento, pois é neles que ocorrem as maiores variações cíclicas de tensão de cisalha. Assim:
– Localize nos desenhos de carregamento os pontos onde \sigma_x e \tau_{xy} são maiores (entalhes, chavetas, mudanças de seção).
– Para cada ponto, use \tan(2\theta_p)=2\tau_{xy}/\sigma_x para achar \theta_p.
– Determine os planos críticos por \theta_s=\theta_p\pm45^\circ.
Nestes planos inclinados em torno de 45^\circ em torção pura (ou ligeiramente deslocados quando há flexão), surgem as trincas de fadiga.

Resposta

A transformação de tensão e o Círculo de Mohr permitem calcular as tensões principais
\sigma_{1,2}= \tfrac{\sigma_x}{2}\pm\sqrt{(\tfrac{\sigma_x}{2})^2+\tau_{xy}^2}
e a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max}=\sqrt{(\tfrac{\sigma_x}{2})^2+\tau_{xy}^2}.
As orientações dos planos de máxima cisalha, dadas por \theta_s=\theta_p\pm45^\circ com \tan(2\theta_p)=2\tau_{xy}/\sigma_x, apontam exatamente as direções onde podem nascer as trincas de fadiga.

Exercícios relacionados