1. Uma viga de aço está sujeita a um momento fletor que causa uma tensão de flexão máxima de 150 MPa na fibra mais afastada do eixo neutro. No mesmo ponto, uma força cortante gera uma tensão de cisalhamento de 50 MPa . Determine as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento nesse ponto.

Passo 1

O enunciado descreve um ponto de uma viga sujeito a uma tensão normal de flexão máxima de \sigma_f=150\,\text{MPa} e a uma tensão de cisalhamento de \tau=50\,\text{MPa}. Precisamos tratar isso como um problema de estado plano de tensões, aplicar as fórmulas de tensões principais e determinar também a máxima tensão de cisalhamento naquele ponto.

Passo 2

Identificamos os componentes do tensor de tensões em coordenadas cartesianas:
\sigma_x=150\,\text{MPa} (flexão), \sigma_y=0 (nenhuma tensão normal na direção perpendicular) e \tau_{xy}=50\,\text{MPa}.

Passo 3

Usamos a fórmula das tensões principais:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Bigr)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Calculamos primeiro o valor médio e o discriminante:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{150+0}{2}=75\,\text{MPa},
\Bigl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Bigr)^{2}+\tau_{xy}^{2} =75^{2}+50^{2}=5625+2500=8125,
\sqrt{8125}\approx90{,}14\,\text{MPa}.

Passo 4

Substituindo na expressão das tensões principais:
\sigma_1=75+90{,}14\approx165{,}14\,\text{MPa},
\sigma_2=75-90{,}14\approx-15{,}14\,\text{MPa}.

Passo 5

A máxima tensão de cisalhamento no plano é dada por
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} =\frac{165{,}14-(-15{,}14)}{2}\approx90{,}14\,\text{MPa}.

Resposta

Tensões principais:
\sigma_1\approx165{,}14\,\text{MPa},\quad \sigma_2\approx-15{,}14\,\text{MPa}.
Máxima tensão de cisalhamento:
\tau_{\max}\approx90{,}14\,\text{MPa}.

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