Um eixo de secção transversal constante, com diâmetro igual a 50 mm , transmite uma potência de 60 kW a uma frequência de 30 Hz . Pede-se determinar no eixo:
a) a velocidade angular (w)
b) a rotação (n)
c) o torque atuante (Mt)
d) a tensão máxima atuante
Solução:

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede e o que temos):
  • Um eixo de secção transversal constante, com diâmetro igual a 50\\ \mathrm{mm}.
  • Transmite uma potência de 60\\ \mathrm{kW} à frequência de 30\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedidos:
    a) a velocidade angular (\omega),
    b) a rotação (n),
    c) o torque atuante (M_t),
    d) a tensão máxima atuante (tensão de cisalhamento máxima no eixo).
Dados numéricos (já convertidos para unidades SI quando necessário):
\text{diâmetro } d = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}050\\ \mathrm{m}â
\text{potência } P = 60\\ \mathrm{kW} = 60\,000\\ \mathrm{W}ê
\text{frequência } f = 30\\ \mathrm{Hz}ê

Passo 2

Cálculo da velocidade angular \omega — fórmula e explicação.
  • Conceito: a velocidade angular \omega mede quantos radianos o eixo gira por segundo.
  • Fórmula: \omega = 2\pi f.
    • Aqui \omega está em \mathrm{rad/s},
    • f é a frequência em \mathrm{Hz} (ciclos por segundo),
    • 2\pi porque uma volta corresponde a 2\pi radianos.
Aplicando ao caso:
\omega = 2\pi \cdot 30 = 60\pi\\ \mathrm{rad/s} \approx 188{,}50\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Cálculo da rotação n (em rotações por minuto, rpm) — fórmula e explicação.
  • Conceito: rotação n em rpm indica quantas voltas por minuto o eixo dá.
  • Relação entre frequência e rotação: n = 60 f.
    • Porque uma frequência de 1\\ \mathrm{Hz} corresponde a 60\\ \mathrm{rpm}.
Aplicando:
n = 60 \cdot 30 = 1800\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Cálculo do torque atuante M_t — relação entre potência, torque e velocidade angular.
  • Fórmula básica de potência de rotação:
P = M_t \, \omega,
onde
  • P é a potência transmitida (em \mathrm{W}),
  • M_t é o torque (em \mathrm{N\cdot m}),
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
  • Isolando o torque:
M_t = \frac{P}{\omega}.
Substituindo os valores:
M_t = \frac{60\,000}{60\pi} = \frac{1000}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m} \approx 318{,}31\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Cálculo da tensão máxima atuante (tensão de cisalhamento máxima) — teoria e fórmulas.
  • Para um eixo circular maciço submetido a um torque M_t, a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} ocorre na superfície externa e é dada por:
\tau_{\max} = \frac{M_t\, c}{J},
onde
  • c é o raio da seção (distância do centro até a fibra mais externa), c = \dfrac{d}{2},
  • J é o momento polar de inércia da seção circular sólida.
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d, o momento polar de inércia é:
J = \frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Substituindo c e J na expressão de \tau_{\max}:
\tau_{\max} = \frac{M_t \cdot \dfrac{d}{2}}{\dfrac{\pi d^{4}}{32}} = M_t \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{32}{\pi d^{4}} = M_t \cdot \frac{16}{\pi d^{3}}.
Portanto a fórmula prática que usaremos é
\tau_{\max} = \frac{16\,M_t}{\pi d^{3}}.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo da tensão máxima.
  • Já temos M_t \approx 318{,}3099\\ \mathrm{N\cdot m} (valores arredondados abaixo).
  • Diâmetro d = 0{,}050\\ \mathrm{m}. Calculamos d^{3} = (0{,}050)^{3} = 0{,}000125\\ \mathrm{m^{3}}.
Aplicando a fórmula:
\tau_{\max} = \frac{16 \cdot 318{,}3099}{\pi \cdot 0{,}000125}\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo as contas (mostrando cada passo numérico):
16\cdot 318{,}3099 \approx 5092{,}9584
\pi\cdot 0{,}000125 \approx 0{,}0003926991
\tau_{\max} \approx \frac{5092{,}9584}{0{,}0003926991}\\ \mathrm{Pa} \approx 12\,970\,000\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para unidades mais amigáveis:
\tau_{\max} \approx 12{,}97\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

a) \omega = 60\pi\\ \mathrm{rad/s} \approx 188{,}50\\ \mathrm{rad/s}
b) n = 1800\\ \mathrm{rpm}
c) M_t = \dfrac{1000}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m} \approx 318{,}31\\ \mathrm{N\cdot m}
d) \tau_{\max} \approx 12{,}97\\ \mathrm{MPa}

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