(d) Uma viga simplesmente apoiada de 10 m de comprimento suporta que varia parabolicamente de 0 \mathrm{kN} / \mathrm{m} no apoio esquerdo a 16 \mathrm{kN} / \mathrm{m} no apoio direito, um momento concentrado de 50 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} a 3 m do apoio esquerdo e uma carga concentrada de 20 kN a 2 m do apoio direito. Dica: Para a carga distribuída parabólica, você pode expressá-la como q(x)=0.16 x^{2}. Lembre-se de calcular a resultante e a posição do centróide dessa carga parabólica para determinar as reações de apoio e os diagramas. Não esqueça de considerar os efeitos do momento concentrado e da carga pontual na sua análise.
Passo 1
O enunciado fornece uma viga simplesmente apoiada de comprimento 10\\ \mathrm{m} com as seguintes ações:
Determinar as reações de apoio (forças verticais em A e B).
Construir/expor os diagramas de esforço cortante V(x) e momento fletor M(x) (ou seja, as expressões e os valores principais).
Observação importante (que eu não posso inferir do enunciado): a direção do momento concentrado não foi informada (sentido horário ou anti-horário). Vou adotar a convenção padrão: momento positivo é o sentido anti-horário (contra-relógio). Assim, tomarei M_{c}=+50\\ \mathrm{kN\cdot m} se o momento for anti-horário; se o enunciado quisesse o sentido oposto, basta trocar o sinal de M_{c} e seguir o mesmo procedimento (eu indicarei como mudar no passo onde isso for usado).
Não inicio a resolução ainda; apenas identifiquei todos os dados e as perguntas.
Passo 2
Calcular a resultante (valor total) da carga distribuída parabólica e a posição do centróide dessa carga — esses dois dados servem como uma carga concentrada equivalente para balanço das reações.
Explicação didática rápida do conceito:
A resultante R_q de uma carga distribuída q(x) é a integral da intensidade ao longo do vão: \displaystyle R_q=\int_{0}^{L} q(x)\,dx.
A posição do centróide \bar{x} (medida a partir do apoio esquerdo) é dada por \displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{R_q}\int_{0}^{L} x\,q(x)\,dx.
Essas fórmulas vêm da definição de momento estático da carga em relação a um ponto.
Aplicando ao nosso caso q(x)=0{,}16x^{2} em L=10\\ \mathrm{m}:
Interpretação: a carga parabólica equivalente R_q age em x=7{,}5\\ \mathrm{m} (ou seja, mais para a direita, que é intuitivo porque a intensidade cresce para a direita).
Passo 3
Equilíbrios estáticos para obter as reações R_A (apoio esquerdo) e R_B (apoio direito).
Lembrando as equações de equilíbrio para uma viga bi-apoiada (forças verticais e momentos):
Soma das forças verticais: \displaystyle R_A+R_B=R_q+P.
Soma dos momentos em torno de A (convenção: momento positivo anti-horário): incluir os momentos das forças e também o momento concentrado M_c com seu sinal algebraico.
Agora a equação de momentos em A. Para ser consistente com a convenção (momento positivo anti-horário), os termos que giram em sentido anti-horário são positivos. A equação fica:
Explicação do sinal do termo M_{c}: se o momento concentrado for anti-horário (positivo na nossa convenção), ele entra com sinal +M_{c}; se for horário, então M_{c} deve ser tomado negativo. (Se você tiver o outro sentido, troque o sinal de M_{c} no cálculo abaixo.)
Observação sobre a incerteza de sinal do momento: se o momento concentrado tivesse sentido contrário (horário), substitua M_{c}=-50 nas equações acima; então R_B=(560-(-50))/10=61\\ \mathrm{kN} e R_A=73{,}333-61=12{,}333\\ \mathrm{kN}. Ou seja, o efeito do sentido do momento é deslocar as reações em \pm 5\\ \mathrm{kN} distribuído entre os apoios conforme o sinal. A partir daqui vou prosseguir com M_{c}=+50\\ \mathrm{kN\cdot m} (anti-horário). Se você precisa do caso horário, me avise mentalmente que troque M_c\to -50 e os números mudam conforme indicado.
Passo 4
Determinar o esforço cortante V(x) ao longo da viga (expressões em função de x), explicando como construir o diagrama.
Conceito rápido: o esforço cortante V(x) é dado pela soma (com sinal) das forças verticais aplicadas à esquerda da seção em x. Para cargas distribuídas integradas, usamos a integral da intensidade.
Para 0\le x<8 (antes da carga pontual em x=8):
V(x)=R_A-\int_{0}^{x} q(s)\,ds.
Já calculamos \int_{0}^{x} q(s)\,ds=0{,}16\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{0{,}16}{3}x^{3}=\dfrac{4}{75}x^{3} (porque 0{,}16/3=4/75). Assim:
Salto em x=8: V(8^{+})=V(8^{-})-20\approx -24{,}974\\ \mathrm{kN}.
V(10^{-})=\dfrac{67}{3}-\dfrac{4}{75}\cdot 1000 -20=\dfrac{67}{3}-\dfrac{4000}{75}-20 = \dfrac{67}{3}-\dfrac{160}{3}-20 = -51\\ \mathrm{kN} = -R_B. Isso é consistente com o equilíbrio (o valor do cortante imediatamente à esquerda do apoio direito é o negativo da reação do apoio direito).
Passo 5
Determinar o momento fletor M(x) (expressões em função de x), incluindo o efeito do momento concentrado como salto do diagrama de momentos.
Conceito e regra prática:
O momento fletor é obtido por integração do cortante: M'(x)=V(x). Ao integrar, obtemos M(x) por trechos; uma carga concentrada de momento (couple) provoca uma descontinuidade (salto) no diagrama de momento igual ao negativo do momento aplicado, conforme a convenção adotada (explico abaixo).
A intensidade de carga q foi incorporada no cortante; a constante de integração é fixada por M(0)=0.
Integração por trechos (sem ainda aplicar o salto do momento concentrado):
Para 0\le x\le 3 (até a posição do momento concentrado):
M(x)=\int_{0}^{x} V(s)\,ds =\int_{0}^{x}\left(R_A-\dfrac{4}{75}s^{3}\right)ds =R_A x - \dfrac{4}{75}\cdot \dfrac{x^{4}}{4} =R_A x - \dfrac{1}{75}x^{4}.
Assim:
\boxed{M(x)=R_A x - \dfrac{1}{75}x^{4},\quad 0\le x\le 3.}
Agora, ao atravessar o momento concentrado M_c em x=3, o diagrama de momentos sofre um salto. Regra de sinal prática (explicada): se o momento externo aplicado em x for positivo no sentido anti-horário (nossa convenção), então o valor do momento interno imediatamente à direita será igual ao valor imediatamente à esquerda menos esse M_c; em fórmula:
M(3^{+})=M(3^{-})-M_{c}.
(É o mesmo resultado que garante a compatibilidade global: integrar o cortante fornece os momentos até uma constante; o momento concentrado entra como mudança dessa constante.)
Para 3<x<8 (entre o momento concentrado e a carga pontual em x=8), a expressão do momento é a mesma integral do cortante, acrescida de uma constante ajustada pelo salto. Ou seja:
M(x)=R_A x - \dfrac{1}{75}x^{4} - M_{c},\quad 3<x<8,
porque para x>3 adicionamos a constante -M_{c} (veja que em x=3^{+} recuperamos M(3^{+})). Escreveremos então:
\boxed{M(x)=R_A x - \dfrac{1}{75}x^{4} - M_{c},\quad 3<x<8.}
Para 8\le x\le 10 (após a carga pontual de 20\\ \mathrm{kN} em x=8), devemos incluir o efeito da força concentrada (que causa uma inclinação do diagrama de momentos — isto está contido ao integrar o cortante que contém o salto de -20). A expressão fica:
Observação final de didática: com as expressões de V(x) e M(x) você consegue traçar os diagramas qualitativamente: o cortante começa positivo em A, decresce em curva (por causa do x^{3}), sofre salto negativo em x=8 por causa da carga de 20\\ \mathrm{kN}, e termina negativo com valor -R_B. O momento tem formato polinomial (curvas de 4ª ordem na contribuição da parabólica), com um salto vertical no ponto x=3 igual a -M_c (ou seja, diminui de 65{,}92 para 15{,}92 no caso assumido).
Se você quiser eu desenho (em texto) um esboço qualitativo do diagrama ou calcule o ponto exato de máximo de momento interno (derivando M'(x)=V(x) e igualando a zero dentro dos trechos), eu faço passo a passo também.