Dimensionar a árvore maciça de aço, para que transmita com seguranç uma potência de 7355 W (
), girando com uma rotação de 800 rpm . O material a ser utilizado é o ABNT 1040 L , com
(tensão admissível de cisalhamento na torção).
Solução:
R:
R:
Passo 1
O enunciado pede que dimensionemos uma árvore maciça (eixo) circular de aço de modo que ela transmita com segurança uma potência de
rodando a
. O material é ABNT 1040 L e a tensão admissível de cisalhamento na torção é
Informações relevantes fornecidas:
E sabemos que a árvore é maciça (seção circular sólida) e que queremos o menor diâmetro
que respeite
.
Passo 2
Vamos relacionar potência, torque e velocidade angular. A potência transmitida por um eixo é dada por
onde:
-
é a potência (em ), -
é o torque (em ), -
é a velocidade angular (em ).
A velocidade angular
relaciona-se com a rotação
por
Substituindo
,
Passo 3
Isolando o torque em
temos
Substituindo os valores:
Explicação prática: esse é o torque mínimo que o eixo deve suportar para transmitir a potência dada àquela rotação.
Passo 4
Agora ligamos torque à tensão de cisalhamento máxima na seção circular maciça. Para um eixo circular maciço submetido à torção, a tensão de cisalhamento máxima é
onde:
-
é o torque (em ), -
é o raio da seção (metade do diâmetro): , -
é o momento polar de inércia da seção circular sólida:
Substituindo
e
na expressão:
Esta forma simplificada é a fórmula prática que usamos para eixos circulares maciços:
.
Passo 5
Para garantir segurança impomos
. Para encontrar o menor diâmetro que atende a isso usamos a igualdade (caso contrário o diâmetro aumenta):
Isolando
,
Aqui é importante manter as unidades consistentes: usamos
em
e
em
, então a expressão dá
em metros.
Passo 6
Substituímos os valores numéricos (mantendo unidades SI):
Calculemos o termo dentro da raiz cúbica:
Agora fazemos a raiz cúbica:
Convertendo para milímetros:
Comentário didático: para checar mentalmente, note que
— nosso valor é um pouco maior, então
faz sentido.
Passo 7
No dimensionamento prático escolhe-se um diâmetro comercializado ou arredonda-se para cima por segurança e por facilidade de fabricação. Arredondando para o próximo milímetro comercial e garantindo margem, escolhemos
Isso garante
e deixa uma folga de segurança.