Dimensionar a árvore maciça de aço, para que transmita com seguranç uma potência de 7355 W ( \sim 10 \mathrm{CV} ), girando com uma rotação de 800 rpm . O material a ser utilizado é o ABNT 1040 L , com \tau \mathrm{adm}=50 \mathrm{MPa} (tensão admissível de cisalhamento na torção).
Solução:
R: \mathrm{d}=21 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos uma árvore maciça (eixo) circular de aço de modo que ela transmita com segurança uma potência de P = 7355\\ \mathrm{W} rodando a n = 800\\ \mathrm{rpm}. O material é ABNT 1040 L e a tensão admissível de cisalhamento na torção é \tau_{\mathrm{adm}} = 50\\ \mathrm{MPa}.
Informações relevantes fornecidas:
P = 7355\\ \mathrm{W}
n = 800\\ \mathrm{rpm}
\tau_{\mathrm{adm}} = 50\\ \mathrm{MPa} = 50\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}
E sabemos que a árvore é maciça (seção circular sólida) e que queremos o menor diâmetro (d) que respeite \tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}}.

Passo 2

Vamos relacionar potência, torque e velocidade angular. A potência transmitida por um eixo é dada por
P = T\omega,
onde:
  • \,P é a potência (em \mathrm{W} = \mathrm{N\cdot m/s}),
  • \,T é o torque (em \mathrm{N\cdot m}),
  • \,\omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
A velocidade angular \omega relaciona-se com a rotação n por
\omega = \frac{2\pi n}{60}.
Substituindo n=800\\ \mathrm{rpm},
\omega = \frac{2\pi\cdot 800}{60} \approx 83,776\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Isolando o torque em P = T\omega temos
T = \frac{P}{\omega}.
Substituindo os valores:
T = \frac{7355}{83,776}\\ \mathrm{N\cdot m} \approx 87,82\\ \mathrm{N\cdot m}.
Explicação prática: esse é o torque mínimo que o eixo deve suportar para transmitir a potência dada àquela rotação.

Passo 4

Agora ligamos torque à tensão de cisalhamento máxima na seção circular maciça. Para um eixo circular maciço submetido à torção, a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \,T é o torque (em \mathrm{N\cdot m}),
  • \,c é o raio da seção (metade do diâmetro): \,c=\dfrac{d}{2},
  • \,J é o momento polar de inércia da seção circular sólida: \displaystyle J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c e J na expressão:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi\,d^{3}}.
Esta forma simplificada é a fórmula prática que usamos para eixos circulares maciços: \displaystyle \tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^{3}}.

Passo 5

Para garantir segurança impomos \tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}}. Para encontrar o menor diâmetro que atende a isso usamos a igualdade (caso contrário o diâmetro aumenta):
\frac{16T}{\pi d^{3}} = \tau_{\mathrm{adm}}.
Isolando d,
d^{3} = \frac{16T}{\pi \,\tau_{\mathrm{adm}}},
d = \left(\frac{16T}{\pi \,\tau_{\mathrm{adm}}}\right)^{1/3}.
Aqui é importante manter as unidades consistentes: usamos \,T em \mathrm{N\cdot m} e \tau_{\mathrm{adm}} em \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}}, então a expressão dá d em metros.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos (mantendo unidades SI):
T \approx 87{,}82\\ \mathrm{N\cdot m}, \qquad \tau_{\mathrm{adm}} = 50\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Calculemos o termo dentro da raiz cúbica:
\frac{16T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}} = \frac{16\cdot 87{,}82}{\pi\cdot 50\times10^{6}} \approx \frac{1405{,}12}{157\,079\,632{,}7} \approx 8{,}945\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora fazemos a raiz cúbica:
d = \left(8{,}945\times 10^{-6}\right)^{1/3}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}0206\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
d \approx 20{,}6\\ \mathrm{mm}.
Comentário didático: para checar mentalmente, note que 0{,}02^{3}=8\times10^{-6} — nosso valor é um pouco maior, então 0{,}0206 faz sentido.

Passo 7

No dimensionamento prático escolhe-se um diâmetro comercializado ou arredonda-se para cima por segurança e por facilidade de fabricação. Arredondando para o próximo milímetro comercial e garantindo margem, escolhemos
d = 21\\ \mathrm{mm}.
Isso garante \tau_{\max} < \tau_{\mathrm{adm}} e deixa uma folga de segurança.

Resposta

d = 21\\ \mathrm{mm}

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