Em um estudo preliminar de projeto você foi solicitado a adotar a coluna mais resistente a flambagem entre as duas opções disponíveis e apresentar a memória de cálculo que comprove a sua escolha. Sabe-se que ambas possuem o mesmo comprimento, são do mesmo material e serão submetidas à ação de uma mesma carga axial P de compressão, sendo uma coluna de seção transversal circular com diâmetro de 25 cm , e a outra de seção transversal quadrada de lado 25 cm , e ambas possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades. Qual a coluna mais resistênte? Justifique matematicamente.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Dois colunas com mesmo comprimento L, mesmo material (mesmo módulo de elasticidade E), mesmas condições de contorno nas extremidades (mesmo coeficiente de comprimento efetivo K) e submetidas à mesma carga axial de compressão P.
  • Uma coluna tem seção transversal circular de diâmetro 25\\ \text{cm}.
  • A outra coluna tem seção transversal quadrada de lado 25\\ \text{cm}.
  • Pergunta: qual das duas colunas é mais resistente à flambagem? Pedem justificativa matemática.

Passo 2

Apresento a lei básica que controla a flambagem elástica (fórmula de Euler) e explico cada termo:
P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^{2}E I}{(K L)^{2}}.
Explicação das variáveis:
  • P_{\mathrm{cr}} é a carga crítica de flambagem (valor da carga acima do qual a coluna flambará).
  • E é o módulo de elasticidade do material (mesmo para as duas colunas).
  • I é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo de flambagem (é aqui que a geometria da seção entra).
  • L é o comprimento da coluna (mesmo para as duas).
  • K é o coeficiente que representa as condições de apoio nas extremidades (mesmo para as duas).
    Observação importante: como E, L e K são idênticos para as duas colunas, a comparação da resistência à flambagem reduz-se à comparação dos momentos de inércia I. A coluna com maior I terá maior P_{\mathrm{cr}} e, portanto, é mais resistente à flambagem.

Passo 3

Vou escrever as fórmulas do momento de inércia I para as seções dadas e explicar o que cada fórmula significa:
  • Para uma seção transversal circular de diâmetro d (eixo passando pelo centro), o momento de inércia é
I_{\mathrm{círculo}}=\frac{\pi d^{4}}{64}.í
Breve comentário: I mede a “distribuição de área” em relação ao eixo neutro; quanto mais afastada do eixo a área estiver, maior o I e maior a rigidez à flexão (e à flambagem).
  • Para uma seção quadrada de lado a (eixo passando pelo centro e paralelo a um dos lados), o momento de inércia é
I_{\mathrm{quadrado}}=\frac{a^{4}}{12}.
Para o nosso caso, d=25\\ \text{cm} e a=25\\ \text{cm}.

Passo 4

Calculo dos valores numéricos dos momentos de inércia usando as fórmulas acima (usando unidades em \text{cm}^{4} para simplificar; como comparamos razões a unidade não afeta a conclusão):
Cálculo do diâmetro à quarta potência:
d^{4}=25^{4}=390\,625.
Aplicando em I_{\mathrm{círculo}}í:
I_{\mathrm{círculo}}=\frac{\pi\cdot 390\,625}{64}=\left(\frac{390\,625}{64}\right)\pi.í
Calculando numericamente:
\frac{390\,625}{64}=6\,103{,}515625
I_{\mathrm{círculo}} \approx 6\,103{,}515625\cdot \pi \approx 19\,172{,}35\\ \text{cm}^{4}.í
Agora I_{\mathrm{quadrado}}:
I_{\mathrm{quadrado}}=\frac{25^{4}}{12}=\frac{390\,625}{12}\approx 32\,552{,}083333\\ \text{cm}^{4}.

Passo 5

Comparação direta dos momentos de inércia e interpretação:
\frac{I_{\mathrm{quadrado}}}{I_{\mathrm{círculo}}}\approx \frac{32\,552{,}083333}{19\,172{,}35}\approx 1{,}6977.í
Isto significa que I_{\mathrm{quadrado}} é aproximadamente 69{,}8\% maior que I_{\mathrm{círculo}}í. Como P_{\mathrm{cr}} é proporcional a I (veja a fórmula de Euler no Passo 2) e todos os outros fatores ( E, K, L) são iguais, a coluna quadrada terá carga crítica de flambagem maior em cerca de 69{,}8\% do que a coluna circular com as mesmas dimensões lineares.

Passo 6

Comentário físico e conclusão didática:
  • O motivo prático é que, embora as duas seções tenham a mesma área transversal ( A_{\mathrm{círculo}}=\pi d^{2}/4í e A_{\mathrm{quadrado}}=a^{2} — note que as áreas não são iguais neste caso), o que rege a flambagem é a rigidez à flexão representada por EI. A geometria do quadrado concentra mais área afastada do eixo neutro que a seção circular do mesmo tamanho linear, resultando em maior I.
  • Portanto, matematicamente e fisicamente, a coluna de seção quadrada com lado 25\\ \text{cm} é mais resistente à flambagem do que a coluna de seção circular de diâmetro 25\\ \text{cm}.

Resposta

A coluna de seção quadrada (lado 25\\ \text{cm}) é mais resistente à flambagem.

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