Em um estudo preliminar de projeto você foi solicitado a adotar a coluna mais resistente a flambagem entre as duas opções disponíveis e apresentar a memória de cálculo que comprove a sua escolha. Sabe-se que ambas possuem o mesmo comprimento, são do mesmo material e serão submetidas à ação de uma mesma carga axial P de compressão, sendo uma coluna de seção transversal circular com diâmetro de 25 cm , e a outra de seção transversal quadrada de lado 25 cm , e ambas possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades. Qual a coluna mais resistênte? Justifique matematicamente.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Dois colunas com mesmo comprimento
, mesmo material (mesmo módulo de elasticidade ), mesmas condições de contorno nas extremidades (mesmo coeficiente de comprimento efetivo ) e submetidas à mesma carga axial de compressão . - Uma coluna tem seção transversal circular de diâmetro
. - A outra coluna tem seção transversal quadrada de lado
. - Pergunta: qual das duas colunas é mais resistente à flambagem? Pedem justificativa matemática.
Passo 2
Apresento a lei básica que controla a flambagem elástica (fórmula de Euler) e explico cada termo:
Explicação das variáveis:
-
é a carga crítica de flambagem (valor da carga acima do qual a coluna flambará). -
é o módulo de elasticidade do material (mesmo para as duas colunas). -
é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo de flambagem (é aqui que a geometria da seção entra). -
é o comprimento da coluna (mesmo para as duas). -
é o coeficiente que representa as condições de apoio nas extremidades (mesmo para as duas).
Observação importante: como, e são idênticos para as duas colunas, a comparação da resistência à flambagem reduz-se à comparação dos momentos de inércia . A coluna com maior terá maior e, portanto, é mais resistente à flambagem.
Passo 3
Vou escrever as fórmulas do momento de inércia
para as seções dadas e explicar o que cada fórmula significa:
- Para uma seção transversal circular de diâmetro
(eixo passando pelo centro), o momento de inércia é
Breve comentário:
mede a “distribuição de área” em relação ao eixo neutro; quanto mais afastada do eixo a área estiver, maior o
e maior a rigidez à flexão (e à flambagem).
- Para uma seção quadrada de lado
(eixo passando pelo centro e paralelo a um dos lados), o momento de inércia é
Para o nosso caso,
e
.
Passo 4
Calculo dos valores numéricos dos momentos de inércia usando as fórmulas acima (usando unidades em
para simplificar; como comparamos razões a unidade não afeta a conclusão):
Cálculo do diâmetro à quarta potência:
Cálculo do diâmetro à quarta potência:
Aplicando em
:
Calculando numericamente:
Agora
:
Passo 5
Comparação direta dos momentos de inércia e interpretação:
Isto significa que
é aproximadamente
maior que
. Como
é proporcional a
(veja a fórmula de Euler no Passo 2) e todos os outros fatores (
,
,
) são iguais, a coluna quadrada terá carga crítica de flambagem maior em cerca de
do que a coluna circular com as mesmas dimensões lineares.
Passo 6
Comentário físico e conclusão didática:
- O motivo prático é que, embora as duas seções tenham a mesma área transversal (
e — note que as áreas não são iguais neste caso), o que rege a flambagem é a rigidez à flexão representada por . A geometria do quadrado concentra mais área afastada do eixo neutro que a seção circular do mesmo tamanho linear, resultando em maior . - Portanto, matematicamente e fisicamente, a coluna de seção quadrada com lado
é mais resistente à flambagem do que a coluna de seção circular de diâmetro .
Resposta
A coluna de seção quadrada (lado
) é mais resistente à flambagem.