Elabore um algoritmo que calcule o alcance de um projétil, dada a velocidade inicial v0 e o ângulo \theta entre o cano do canhão e o solo. A fórmula a ser utilizada é
S=v 02 g \operatorname{sen}(2 \theta) onde
g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial: v_0 (em \mathrm{m/s}).
    • Ângulo entre o cano e o solo: \theta (o enunciado não diz se \theta está em graus ou radianos).
    • A constante da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Fórmula indicada para o alcance:
    S = \frac{v_0^{2}}{g}\,\sin(2\theta).
  • O que se pede:
    • Elaborar um algoritmo que, dados v_0 e \theta, calcule o alcance S usando a fórmula acima e mostre o resultado.

Passo 2

O que significa cada termo da fórmula (explicação didática):
  • v_0: velocidade escalar inicial do projétil ao sair do cano, em \mathrm{m/s}.
  • \theta: ângulo de lançamento medido a partir do solo (horizontal). Atenção: funções trigonométricas em linguagens e calculadoras geralmente usam radianos.
  • g: aceleração da gravidade, aqui g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • \sin(2\theta): seno do dobro do ângulo. A fórmula usa o seno de 2\theta.
  • S: alcance horizontal do projétil, em metros ( \mathrm{m}).
Explicando com palavras: a fórmula combina a componente horizontal da velocidade e o tempo que o projétil permanece no ar para obter a distância horizontal percorrida até cair novamente.

Passo 3

De onde vem a fórmula (pequena derivação, passo a passo):
  1. Separar o movimento em componentes horizontal e vertical. A velocidade inicial nas direções são:
    • horizontal: v_{0x}=v_0\cos\theta,
    • vertical: v_{0y}=v_0\sin\theta.
  2. Tempo total de voo T: como a aceleração vertical é -g e o projétil volta ao mesmo nível, o tempo de subida e descida soma T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
  3. Alcance horizontal S: é a velocidade horizontal vezes o tempo de voo: S=v_{0x}\,T = v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g}=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
  4. Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos S=\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta).
Isso mostra por que a fórmula é válida quando não consideramos resistência do ar e o ponto de impacto está no mesmo nível do lançamento.

Passo 4

Cuidados numéricos e validações (o que o algoritmo precisa checar):
  • Unidade do ângulo: se a entrada for em graus, converter para radianos antes de aplicar \sin. Conversão: \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}}\cdot\frac{\pi}{180}.
  • Validações úteis:
    • v_0 deve ser maior ou igual a 0. Se v_0=0 então S=0.
    • \theta pode ser qualquer valor real, mas ângulos fora do intervalo [0^\circ,90^\circ] têm interpretação física diferente; o algoritmo pode aceitar e calcular normalmente (o seno será adequado).
  • Precisão: usar ponto flutuante (double) para evitar perda de precisão ao calcular v_0^2 e seno.

Passo 5

Estratégia do algoritmo (passos concretos que o programa fará):
  1. Ler v_0.
  2. Ler \theta e perguntar se está em graus; se estiver em graus, converter para radianos usando \theta_{\text{rad}}=\theta\cdot\pi/180.
  3. Calcular v_0^{2}.
  4. Calcular \sin(2\theta_{\text{rad}}).
  5. Calcular S=\dfrac{v_0^{2}}{g}\,\sin(2\theta_{\text{rad}}).
  6. Mostrar S em metros, com formatação adequada (por exemplo duas casas decimais).
  7. Tratar casos especiais (por exemplo se v_0<0 emitir aviso).

Passo 6

Pseudocódigo detalhado (pronto para implementar). Todo símbolo matemático está entre delimitadores TeX conforme pedido:
Entrada: v_0, \theta, indicador de unidade do ângulo (por exemplo “graus” ou “radianos”)
Algoritmo:
  • Ler v_0.
  • Se v_0<0 então mostrar mensagem de erro e terminar.
  • Ler \theta.
  • Ler unidade (opcional) — se unidade = “graus” então
    • \theta \leftarrow \theta \cdot \dfrac{\pi}{180} // agora \theta está em radianos
  • Calcular \text{numerador} \leftarrow v_0^{2}.
  • Calcular \text{sen2} \leftarrow \sin\bigl(2\theta\bigr).
  • Calcular S \leftarrow \dfrac{\text{numerador}}{g}\cdot\text{sen2} com g=9,81.
  • Mostrar S (por exemplo: “Alcance S = … m”).
Observação prática: em muitas linguagens a função seno espera radianos; por isso a etapa de conversão é essencial quando a entrada é em graus.

Passo 7

Exemplo numérico passo a passo (para fixar o método: v_0=20\\ \mathrm{m/s}, \theta=30^\circ):
  1. Converter o ângulo para radianos: \theta_{\text{rad}} = 30^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}.
  2. Calcular v_0^{2}: v_0^{2}=20^{2}=400.
  3. Calcular 2\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{3} e o seno: \sin\!\bigl(2\theta_{\text{rad}}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254.
  4. Aplicar a fórmula: S=\frac{400}{9,81}\cdot 0,8660254\approx \frac{346,41016}{9,81}\approx 35,32\\ \text{m}.
Portanto, com v_0=20\\ \mathrm{m/s} e \theta=30^\circ obtém-se aproximadamente 35,32\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Dicas finais e boas práticas:
  • Testar o algoritmo com casos extremos simples: v_0=0 (espera-se S=0), \theta=0^\circ ( S=0), \theta=45^\circ (seno de 90^\circ é 1, produz alcance máximo para dado v_0).
  • Ao imprimir, indicar unidades (metros) e a precisão (casas decimais).
  • Se for implementar em linguagem de programação, usar tipo float/double e a função trigonométrica nativa (por exemplo em Python: math.sin()).
  • Mensagem de incentivo: pratique rodando o algoritmo com valores diferentes para ver como o ângulo muda o alcance — isso ajuda a fixar a intuição.

Resposta

Pseudocódigo final do algoritmo (compacto):
Ler v_0
Se v_0<0 então mostrar “Erro: velocidade negativa” e terminar
Ler \theta
Ler unidade; se unidade = “graus” então \theta \leftarrow \theta\cdot\dfrac{\pi}{180}
Calcular \text{numerador} \leftarrow v_0^{2}
Calcular \text{sen2} \leftarrow \sin\bigl(2\theta\bigr)
Calcular S \leftarrow \dfrac{\text{numerador}}{9,81}\cdot\text{sen2}
Mostrar “Alcance S = " S " m”

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