Elabore um algoritmo que calcule e exiba a soma dos números de uma Progressão Aritmética. São fornecidas a razão, o termo inicial e o número de termos a serem somados.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi fornecido:\n
  • Dados fornecidos: a razão r, o termo inicial a_1 e o número de termos n a serem somados.\n
  • O que pedir: construir um algoritmo que calcule e exiba a soma dos primeiros n termos da Progressão Aritmética (PA) formada por a_1, a_2, \dots, a_n.\n
  • Observações importantes que vou usar depois (não é solução ainda): o número de termos n deve ser um inteiro positivo para a soma fazer sentido nos termos habituais; r e a_1 podem ser números reais.

Passo 2

Definição básica de Progressão Aritmética (PA) e fórmula do termo geral:\n
  • Uma PA é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante e essa diferença é a razão r.\n
  • O k-ésimo termo de uma PA é dado por:
a_k = a_1 + (k-1)\,r
onde:
  • a_k é o termo de índice k,
  • a_1 é o primeiro termo (fornecido),
  • r é a razão (fornecida),
  • k é um índice inteiro com 1 \le k \le n.\n
    Expliquei cada símbolo para você não ter dúvida durante a prova.

Passo 3

Derivação passo a passo da fórmula da soma dos n primeiros termos (método clássico de Gauss), com explicação intuitiva:\n
  • Defina a soma buscada:
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n.
  • Escreva a soma na ordem direta e na ordem inversa:
S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n,
S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1.
  • Some termo a termo as duas expressões (cada coluna soma um primeiro com um último, segundo com penúltimo, etc.). Como há n pares idênticos, obtém-se:
2S_n = n\,(a_1 + a_n).
Isto funciona porque a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \dots em uma PA: cada par soma o mesmo valor.\n
  • Portanto, isolando S_n:
S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}.
  • Como a_n é dado por a_n = a_1 + (n-1)r, podemos substituir para obter a fórmula prática:
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr).
Expliquei a origem das duas formas para que você reconheça a que for mais conveniente na prova.

Passo 4

Interpretação prática das fórmulas e quando usar cada uma:\n
  • Use
S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}
quando você já conhece diretamente a_n (ex.: enunciado dá o último termo).\n
  • Use
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr)
quando especificaram a_1, r e n (é o caso do enunciado). Essa fórmula computa S_n em tempo constante O(1), sem laços.\n
  • Alternativa por laço: somar os termos um a um com um loop (método direto). É simples e robusto, mas tem custo O(n). Pode ser útil se quiser evitar erros de arredondamento em certas implementações ou verificar cada termo.

Passo 5

Cálculo manual passo a passo com um exemplo numérico (para você ver como aplicar na prova sem pular etapas):\n
  • Exemplo: suponha a_1 = 3, r = 2 e n = 5.\n
  • Calcular a_n usando a_n = a_1 + (n-1)r:
a_5 = 3 + (5-1)\cdot 2 = 3 + 4\cdot 2 = 3 + 8 = 11.
  • Calcular S_n usando S_n = \dfrac{n\,(a_1 + a_n)}{2}:
S_5 = \frac{5\,(3 + 11)}{2} = \frac{5\cdot 14}{2} = \frac{70}{2} = 35.
  • Conferência por soma direta dos termos: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35. Batido com a fórmula — sinal verde.\n
    Esse passo te mostra como fazer cálculo “na mão” se o enunciado pedir para justificar cada etapa.

Passo 6

Questões práticas e validações que o algoritmo deve tratar (dicas para prova e implementação):\n
  • Validação de n: exigir n inteiro e n \ge 1. Se n \le 0, definir S_n = 0 ou reportar erro, conforme esperado pelo enunciado.\n
  • Tipos de dados: a_1 e r podem ser reais; escolha tipo que suporte casas decimais (float/double) e, se n for grande, use inteiro de 64 bits para evitar overflow em linguagens como C/Java.\n
  • Precisão numérica: a fórmula em O(1) minimiza somas repetidas que acumulam erro. Se n for muito grande e os valores enormes, considere usar aritmética de maior precisão.\n
  • Complexidade: a solução via fórmula é O(1) em tempo e O(1) em espaço. A solução por laço é O(n) tempo.

Passo 7

Apresento duas versões do algoritmo: (A) versão direta usando a fórmula (mais eficiente) e (B) versão por laço (didática). Cada linha que referencia variáveis está em notação matemática conforme pedido.\n
Versão A — Fórmula (recomendada):
Ler a_1, r, n\nSe n \le 0 então exibir mensagem de erro e terminar\nCalcular a_n \leftarrow a_1 + (n-1)\,r\nCalcular S_n \leftarrow \dfrac{n\,(a_1 + a_n)}{2}\nExibir S_n\n\nVersão B — Laço (alternativa):
Ler a_1, r, n\nSe n \le 0 então exibir mensagem de erro e terminar\nInicializar S \leftarrow 0\nPara k de 1 até n faça:\n calcular a_k \leftarrow a_1 + (k-1)\,r\n atualizar S \leftarrow S + a_k\nFim para\nExibir S\n\nAmbas as versões produzem a mesma soma; a versão A é bem mais rápida para provas ou implementação em exercícios de competição.

Passo 8

Dicas finais para a hora da prova (tom de amigo e incentivo):\n
  • Se o enunciado dá a_1, r e n, memorize e use direto:
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr).
  • Se der o último termo a_n em vez de r, use:
S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}.
  • Em prova, escreva a derivação curta por Gauss (somar direto e invertido) para ganhar pontos se pedirem justificativa. Respira, faz passo a passo que dá certo — você chega lá!\n
    Boa energia: você já tem a fórmula e o algoritmo; na prova, leia com calma e aplique o método A se quiser rapidez.

Resposta

Versão compacta do algoritmo (fórmula, recomendada):\n
Ler a_1, r, n\nSe n \le 0 então exibir “Erro: n deve ser inteiro e positivo” e terminar\nCalcular S_n \leftarrow \dfrac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr)\nExibir S_n

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