1. Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
s W=c^{2} \frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}} \quad(W=\mathscr{L}\{w\})
e
W=F(s) e^{-\sqrt{s} x / c} \quad(F=\mathscr{L}\{f\})
Aplicando o teorema da convolução, mostre que
w(x, t)=\frac{x}{2 c \sqrt{\pi}} \int_{0}^{t} f(t-\tau) \tau^{-3 / 2} e^{-x^{2} /\left(4 c^{2} \tau\right)} d \tau

Passo 1

O enunciado pede que a gente elabore o modelo, aplique a transformada de Laplace em t e mostre duas coisas:
  1. que a transformada leva à equação
sW = c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}\qquad (W=\mathscr{L}\{w\}),
  1. que a solução em s é
W = F(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c}\qquad (F=\mathscr{L}\{f\}),
e finalmente, usando o teorema da convolução, mostrar que
w(x,t)=\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}\tau)}\,d\tau.
Informações/hipóteses que vamos usar (essas são as hipóteses naturais do problema e necessárias para os resultados acima):
  • A equação no tempo é a equação do calor/ difusão no semi-eixo x>0:
\frac{\partial w}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}},\qquad x>0,\;t>0.
  • Condição inicial nula:
w(x,0)=0\quad\text{para todo }x>0.
  • Condição de contorno no bordo x=0:
w(0,t)=f(t),
onde f(t) é dada e F(s)=\mathscr{L}\{f\}.
  • Decaimento físico à medida que x\to\infty (para garantir solução limitada).
Agora vamos executar a resolução passo a passo.

Passo 2

Definimos a transformada de Laplace em t da função w(x,t):
W(x,s)=\mathscr{L}\{w(x,t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}w(x,t)\,dt.
Usamos a propriedade básica da transformada de Laplace para derivadas em t:
\mathscr{L}\left\{\frac{\partial w}{\partial t}\right\}=sW(x,s)-w(x,0).
Explicando: isso vem de integrar por partes \int_{0}^{\infty} e^{-st} w_{t}\,dt; o termo de fronteira em t=0 é -w(x,0) e o termo em t\to\infty desaparece sob hipóteses usuais de decaimento, sobrando sW-w(x,0). Como o enunciado e o modelo assumido nos dão w(x,0)=0, obtemos
\mathscr{L}\left\{\frac{\partial w}{\partial t}\right\}=sW(x,s).
Aplicando a transformada à equação \partial w/\partial t = c^{2}\partial^{2} w/\partial x^{2} e lembrando que a transformada em t com x fixo passa pelo operador derivativo em x (ou seja, \mathscr{L}\{\partial^{2}w/\partial x^{2}\}=\partial^{2}W/\partial x^{2}), obtemos
sW(x,s)=c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}(x,s).
Isso é exatamente a relação pedida:
s W=c^{2} \frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}} \quad(W=\mathscr{L}\{w\}).

Passo 3

Agora resolvemos a equação ordinária em x, visto s como parâmetro:
c^{2}\frac{d^{2}W}{dx^{2}}-sW=0.
Dividindo por c^{2} e escrevendo a equação característica dá
\frac{d^{2}W}{dx^{2}}-\frac{s}{c^{2}}W=0.
A equação característica para r é
r^{2}-\frac{s}{c^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm\frac{\sqrt{s}}{c}.
Portanto a solução geral em x (para cada s) é
W(x,s)=A(s)\,e^{\sqrt{s}\,x/c}+B(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c},
onde A(s) e B(s) são constantes em x que podem depender de s. Observação: \sqrt{s} é a raiz principal (para \Re(s)>0 tem sentido).

Passo 4

Impondo as condições físicas: como queremos solução limitada quando x\to\infty, o termo e^{\sqrt{s}\,x/c} explode, então devemos ter A(s)=0. Assim
W(x,s)=B(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c}.
Agora usamos o contorno em x=0. Pela definição de W,
W(0,s)=\mathscr{L}\{w(0,t)\}=\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s).
Calculando em x=0 na solução obtemos W(0,s)=B(s). Portanto B(s)=F(s) e finalmente
W(x,s)=F(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c},
como o enunciado pedia.

Passo 5

Precisamos retornar ao domínio do tempo: w(x,t)=\mathscr{L}^{-1}\{W(x,s)\}. Escrevemos
w(x,t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c}\}.
Pelo teorema da convolução (transformada de Laplace), se \mathscr{L}\{f\}=F e \mathscr{L}\{g\}=G então
\mathscr{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau.
Assim, se conseguirmos achar g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{e^{-\sqrt{s}\,x/c}\}, teremos
w(x,t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau.

Passo 6

Calculamos g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}\} com a=x/c. Para isso utilizamos uma transformada conhecida (padrão): para a>0,
\mathscr{L}\left\{t^{-1/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}=\sqrt{\frac{\pi}{s}}\,e^{-a\sqrt{s}}.
Explicando essa fórmula: é uma identidade padrão obtida por mudança de variável no integral da transformada e uso da integral gaussiana; não vou rederivar toda a integral aqui, mas é uma fórmula muito usada em problemas de difusão (quem quiser pode derivar fazendo a substituição u=a^{2}/(4t) e usar a integral do tipo \int_{0}^{\infty} u^{-1/2} e^{-u - \beta/u}\,du). Aceitando essa identidade, diferenciamos ambos os lados em relação a a para obter um transformado que envolve t^{-3/2}, que é o formato que aparecerá no resultado final:
Derivando em a:
\mathscr{L}\left\{\frac{d}{da}\big(t^{-1/2} e^{-a^{2}/(4t)}\big)\right\} = \frac{d}{da}\left(\sqrt{\frac{\pi}{s}}\,e^{-a\sqrt{s}}\right).
No lado esquerdo
\frac{d}{da}\big(t^{-1/2} e^{-a^{2}/(4t)}\big) = -\frac{a}{2}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}.
No lado direito
\frac{d}{da}\left(\sqrt{\frac{\pi}{s}}\,e^{-a\sqrt{s}}\right) = -\sqrt{\pi}\, e^{-a\sqrt{s}}.
Igualando e cancelando o sinal menos:
\mathscr{L}\left\{\frac{a}{2}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}=\sqrt{\pi}\,e^{-a\sqrt{s}}.
Assim isolamos e^{-a\sqrt{s}}:
e^{-a\sqrt{s}}=\mathscr{L}\left\{\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}.
Portanto a transformada inversa é
g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}\}=\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}.

Passo 7

Voltando à nossa variável a=x/c, obtemos
g(t)=\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\,t^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}t)}.
Aplicando a convolução com f obtemos finalmente
w(x,t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau =\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}\tau)}\,d\tau.
Isso é exatamente a fórmula pedida.

Resposta

w(x,t)=\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}\tau)}\,d\tau.

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