- Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
e
Aplicando o teorema da convolução, mostre que
Passo 1
O enunciado pede que a gente elabore o modelo, aplique a transformada de Laplace em
e mostre duas coisas:
- que a transformada leva à equação
- que a solução em
é
e finalmente, usando o teorema da convolução, mostrar que
Informações/hipóteses que vamos usar (essas são as hipóteses naturais do problema e necessárias para os resultados acima):
- A equação no tempo é a equação do calor/ difusão no semi-eixo
:
- Condição inicial nula:
- Condição de contorno no bordo
:
onde
é dada e
.
- Decaimento físico à medida que
(para garantir solução limitada).
Agora vamos executar a resolução passo a passo.
Passo 2
Definimos a transformada de Laplace em
da função
:
Usamos a propriedade básica da transformada de Laplace para derivadas em
:
Explicando: isso vem de integrar por partes
; o termo de fronteira em
é
e o termo em
desaparece sob hipóteses usuais de decaimento, sobrando
. Como o enunciado e o modelo assumido nos dão
, obtemos
Aplicando a transformada à equação
e lembrando que a transformada em
com
fixo passa pelo operador derivativo em
(ou seja,
), obtemos
Isso é exatamente a relação pedida:
Passo 3
Agora resolvemos a equação ordinária em
, visto
como parâmetro:
Dividindo por
e escrevendo a equação característica dá
A equação característica para
é
Portanto a solução geral em
(para cada
) é
onde
e
são constantes em
que podem depender de
. Observação:
é a raiz principal (para
tem sentido).
Passo 4
Impondo as condições físicas: como queremos solução limitada quando
, o termo
explode, então devemos ter
. Assim
Agora usamos o contorno em
. Pela definição de
,
Calculando em
na solução obtemos
. Portanto
e finalmente
como o enunciado pedia.
Passo 5
Precisamos retornar ao domínio do tempo:
. Escrevemos
Pelo teorema da convolução (transformada de Laplace), se
e
então
Assim, se conseguirmos achar
, teremos
Passo 6
Calculamos
com
. Para isso utilizamos uma transformada conhecida (padrão): para
,
Explicando essa fórmula: é uma identidade padrão obtida por mudança de variável no integral da transformada e uso da integral gaussiana; não vou rederivar toda a integral aqui, mas é uma fórmula muito usada em problemas de difusão (quem quiser pode derivar fazendo a substituição
e usar a integral do tipo
). Aceitando essa identidade, diferenciamos ambos os lados em relação a
para obter um transformado que envolve
, que é o formato que aparecerá no resultado final:
Derivando em
:
No lado esquerdo
No lado direito
Igualando e cancelando o sinal menos:
Assim isolamos
:
Portanto a transformada inversa é
Passo 7
Voltando à nossa variável
, obtemos
Aplicando a convolução com
obtemos finalmente
Isso é exatamente a fórmula pedida.