- Quais são as autofunções da membrana circular? Como suas freqüências diferem, em princípio, das autofunções de uma corda vibratória?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas: (i) quais são as autofunções da membrana circular e (ii) como, em princípio, as suas frequências diferem das autofunções (e frequências) de uma corda vibratória. Informações implícitas que vamos usar (assumindo a formulação padrão do problema): a membrana é circular de raio
, está fixa na borda (deslocamento zero em
), e as vibrações obedecem à equação de onda com velocidade de onda
. Não há outras informações explícitas no enunciado, portanto tomamos as condições usuais: deslocamento nulo na borda e regularidade no centro. A resolução seguirá a busca de soluções normais (modos harmônicos no tempo) e a comparação com o caso da corda fixa nas duas extremidades.
Passo 2
Escrevendo a equação de onda e passando para modos harmônicos: seja o deslocamento
. Procuramos modos harmônicos no tempo da forma
onde
satisfaz a equação de Helmholtz
com
. Aqui
é o laplaciano no plano. Em coordenadas polares
o laplaciano é
Portanto
satisfaz
Passo 3
Aplicamos separação de variáveis espacial: suponha
Substituindo na equação de Helmholtz e dividindo por
obtemos
Multiplicando por
e rearranjando, separamos as variáveis:
Chamamos essa constante de
(escolha motivada pela periodicidade angular). Assim obtemos duas equações ordinárias.
Passo 4
Equação angular: a parte em
fica
Como
deve ser periódica de período
,
deve ser inteiro:
. As soluções são
Essas funções descrevem os modos angulares (número de “diâmetros nodais” igual a
).
Passo 5
Equação radial: a parte em
fica
Esta é a equação de Bessel de ordem
. Suas soluções gerais são combinações de funções de Bessel de primeira e segunda espécies:
onde
e
são as funções de Bessel. Porém
é singular em
(explodindo), e como queremos soluções regulares no centro da membrana, devemos tomar
. Assim
A condição de contorno na borda fixa é deslocamento nulo em
, isto é
para todo
. Isso implica
Para obter
(modo não trivial) precisamos de
Logo
deve ser um zero de
.
Passo 6
Denotando por
o
-ésimo zero positivo da função
(por exemplo
é o primeiro zero de
), obtenmos os autovalores do problema:
As autofunções espaciais (modos próprios) são, até constantes multiplicativas,
Observações importantes:
- O índice
conta o número de diâmetros nodais (função angular). - O índice
conta as raízes radiais (número de círculos nodais radiais). - Para
a parte angular reduz-se a uma constante (modo circularmente simétrico) e há apenas uma independência angular; para existem duas soluções independentes e , gerando uma degenerescência de multiplicidade 2 (dois modos linearmente independentes com a mesma frequência). - As frequências associadas a esses modos são
Passo 7
Breve explicação sobre as funções de Bessel (didática): as funções
surgem quando se separa Laplace/Helmholtz em coordenadas polares; elas satisfazem a equação
A propriedade que usamos é que
tem uma sequência infinita de zeros positivos
, e esses zeros determinam os modos radiais. Não é necessário decorar a expressão em série de
para a prova, mas é bom saber:
é regular em
e oscila para
grande de forma semelhante a um cosseno amortecido em amplitude por
.
Passo 8
Comparação com a corda vibrante (didática e conclusão):
- Para uma corda de comprimento
com extremidades fixas, as autofunções espaciais são
e as frequências são
Note que as frequências formam uma progressão aritmético-proporcional:
é proporcional a
. Isso significa que os harmônicos são múltiplos inteiros do fundamental (
). Esse é o motivo pelo qual uma corda tem sobretons harmônicos (notas inteiras multiplas).
- Na membrana circular, por outro lado, as frequências são
onde
são os zeros de
. Em geral os zeros
não são múltiplos inteiros de um único número; logo os
não formam uma sequência de harmônicos inteiros do modo fundamental. Em termos simples: os sobretons da membrana são, em geral, não harmônicos. Isso explica por que um tambor (membrana) produz um timbre muito diferente do de uma corda.
Exemplo numérico rápido (para ver a não harmonia): valores aproximados dos primeiros zeros (tirados de tabelas):
A razão
não é um inteiro; portanto o segundo modo mais baixo não é um múltiplo inteiro do modo fundamental.
Passo 9
Observações finais práticas para a prova (dicas):
- Ao ver “membrana circular fixa na borda”, pense imediatamente em separação em coordenadas polares -> equação de Bessel.
- Identifique os índices
(angular) e (radial) e memorize a forma geral da autofunção: e . - Lembre-se:
dá degenerescência 2, não. - Para comparar com a corda, lembre que a corda tem frequências
(harmônicas), enquanto a membrana tem frequências (não-harmônicas, em geral).
Resposta
As autofunções espaciais são, até constantes multiplicativas,
onde
é a função de Bessel de ordem
e
é o
-ésimo zero positivo de
.\
As frequências são
As frequências são
Em contraste com a corda (cujas frequências
são proporcionais a
, gerando harmônicos inteiros), as frequências da membrana são determinadas pelos zeros de
e, em geral, não são múltiplos inteiros umas das outras (ou seja, os sobretons da membrana são em geral não-harmônicos).