1. Quais são as autofunções da membrana circular? Como suas freqüências diferem, em princípio, das autofunções de uma corda vibratória?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: (i) quais são as autofunções da membrana circular e (ii) como, em princípio, as suas frequências diferem das autofunções (e frequências) de uma corda vibratória. Informações implícitas que vamos usar (assumindo a formulação padrão do problema): a membrana é circular de raio a, está fixa na borda (deslocamento zero em r=a), e as vibrações obedecem à equação de onda com velocidade de onda c. Não há outras informações explícitas no enunciado, portanto tomamos as condições usuais: deslocamento nulo na borda e regularidade no centro. A resolução seguirá a busca de soluções normais (modos harmônicos no tempo) e a comparação com o caso da corda fixa nas duas extremidades.

Passo 2

Escrevendo a equação de onda e passando para modos harmônicos: seja o deslocamento u(r,\theta,t). Procuramos modos harmônicos no tempo da forma
u(r,\theta,t)=\Re\!\big(\psi(r,\theta)e^{i\omega t}\big),
onde \psi(r,\theta) satisfaz a equação de Helmholtz
\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0,
com k=\dfrac{\omega}{c}. Aqui \nabla^2 é o laplaciano no plano. Em coordenadas polares (r,\theta) o laplaciano é
\nabla^2 = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}.
Portanto \psi(r,\theta) satisfaz
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial \psi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta^2} + k^2\psi = 0.

Passo 3

Aplicamos separação de variáveis espacial: suponha
\psi(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta).
Substituindo na equação de Helmholtz e dividindo por R\Theta obtemos
\frac{1}{R}\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dR}{dr}\right)+k^2 R\right) + \frac{1}{\Theta}\frac{1}{r^2}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2}=0.
Multiplicando por r^2 e rearranjando, separamos as variáveis:
r^2\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dR}{dr}\right)+k^2 r^2 = -\frac{1}{\Theta}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} = \text{constante}.
Chamamos essa constante de m^2 (escolha motivada pela periodicidade angular). Assim obtemos duas equações ordinárias.

Passo 4

Equação angular: a parte em \theta fica
\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} + m^2\Theta = 0.
Como \Theta(\theta) deve ser periódica de período 2\pi, m deve ser inteiro: m=0,1,2,\dots. As soluções são
\Theta(\theta) = A\cos(m\theta)+B\sin(m\theta).
Essas funções descrevem os modos angulares (número de “diâmetros nodais” igual a m).

Passo 5

Equação radial: a parte em r fica
r^2 R''(r) + r R'(r) + (k^2 r^2 - m^2)R(r) = 0.
Esta é a equação de Bessel de ordem m. Suas soluções gerais são combinações de funções de Bessel de primeira e segunda espécies:
R(r) = C_1 J_m(kr) + C_2 Y_m(kr),
onde J_m e Y_m são as funções de Bessel. Porém Y_m(kr) é singular em r=0 (explodindo), e como queremos soluções regulares no centro da membrana, devemos tomar C_2=0. Assim
R(r) = C J_m(kr).
A condição de contorno na borda fixa é deslocamento nulo em r=a, isto é \psi(a,\theta)=0 para todo \theta. Isso implica
R(a)=C J_m(ka)=0.
Para obter C\neq 0 (modo não trivial) precisamos de
J_m(ka)=0.
Logo ka deve ser um zero de J_m.

Passo 6

Denotando por \alpha_{m,n} o n-ésimo zero positivo da função J_m (por exemplo \alpha_{0,1} é o primeiro zero de J_0), obtenmos os autovalores do problema:
k_{m,n} = \frac{\alpha_{m,n}}{a}.
As autofunções espaciais (modos próprios) são, até constantes multiplicativas,
\psi_{m,n}(r,\theta) = J_m\!\left(\frac{\alpha_{m,n}}{a}\,r\right)\big(C_1\cos(m\theta)+C_2\sin(m\theta)\big).
Observações importantes:
  • O índice m=0,1,2,\dots conta o número de diâmetros nodais (função angular).
  • O índice n=1,2,3,\dots conta as raízes radiais (número de círculos nodais radiais).
  • Para m=0 a parte angular reduz-se a uma constante (modo circularmente simétrico) e há apenas uma independência angular; para m>0 existem duas soluções independentes \cos(m\theta) e \sin(m\theta), gerando uma degenerescência de multiplicidade 2 (dois modos linearmente independentes com a mesma frequência).
  • As frequências associadas a esses modos são
\omega_{m,n} = c\,k_{m,n} = c\,\frac{\alpha_{m,n}}{a}.

Passo 7

Breve explicação sobre as funções de Bessel (didática): as funções J_m(x) surgem quando se separa Laplace/Helmholtz em coordenadas polares; elas satisfazem a equação
x^2 y'' + x y' + (x^2 - m^2) y = 0.
A propriedade que usamos é que J_m(x) tem uma sequência infinita de zeros positivos \alpha_{m,1}<\alpha_{m,2}<\dots, e esses zeros determinam os modos radiais. Não é necessário decorar a expressão em série de J_m para a prova, mas é bom saber: J_m é regular em x=0 e oscila para x grande de forma semelhante a um cosseno amortecido em amplitude por 1/\sqrt{x}.

Passo 8

Comparação com a corda vibrante (didática e conclusão):
  • Para uma corda de comprimento L com extremidades fixas, as autofunções espaciais são
\phi_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
e as frequências são
\omega_n = c\frac{n\pi}{L}.
Note que as frequências formam uma progressão aritmético-proporcional: \omega_n é proporcional a n. Isso significa que os harmônicos são múltiplos inteiros do fundamental ( \omega_n = n\omega_1). Esse é o motivo pelo qual uma corda tem sobretons harmônicos (notas inteiras multiplas).
  • Na membrana circular, por outro lado, as frequências são
\omega_{m,n} = c\,\frac{\alpha_{m,n}}{a},
onde \alpha_{m,n} são os zeros de J_m. Em geral os zeros \alpha_{m,n} não são múltiplos inteiros de um único número; logo os \omega_{m,n} não formam uma sequência de harmônicos inteiros do modo fundamental. Em termos simples: os sobretons da membrana são, em geral, não harmônicos. Isso explica por que um tambor (membrana) produz um timbre muito diferente do de uma corda.
Exemplo numérico rápido (para ver a não harmonia): valores aproximados dos primeiros zeros (tirados de tabelas):
\alpha_{0,1}\approx 2{,}4048,\quad \alpha_{1,1}\approx 3{,}8317,\quad \alpha_{2,1}\approx 5{,}1356,\quad \alpha_{0,2}\approx 5{,}5201.
A razão \dfrac{\alpha_{1,1}}{\alpha_{0,1}}\approx 1{,}593 não é um inteiro; portanto o segundo modo mais baixo não é um múltiplo inteiro do modo fundamental.

Passo 9

Observações finais práticas para a prova (dicas):
  • Ao ver “membrana circular fixa na borda”, pense imediatamente em separação em coordenadas polares -> equação de Bessel.
  • Identifique os índices m (angular) e n (radial) e memorize a forma geral da autofunção: J_m\big(\tfrac{\alpha_{m,n}}{a}r\big)\cos(m\theta) e J_m\big(\tfrac{\alpha_{m,n}}{a}r\big)\sin(m\theta).
  • Lembre-se: m>0 dá degenerescência 2, m=0 não.
  • Para comparar com a corda, lembre que a corda tem frequências \propto n (harmônicas), enquanto a membrana tem frequências \propto \alpha_{m,n} (não-harmônicas, em geral).

Resposta

As autofunções espaciais são, até constantes multiplicativas,
\psi_{m,n}(r,\theta)=J_m\!\left(\frac{\alpha_{m,n}}{a}\,r\right)\big(C_1\cos(m\theta)+C_2\sin(m\theta)\big),
onde J_m é a função de Bessel de ordem m e \alpha_{m,n} é o n-ésimo zero positivo de J_m.\
As frequências são
\omega_{m,n}=c\,\frac{\alpha_{m,n}}{a}.
Em contraste com a corda (cujas frequências \omega_n são proporcionais a n, gerando harmônicos inteiros), as frequências da membrana são determinadas pelos zeros de J_m e, em geral, não são múltiplos inteiros umas das outras (ou seja, os sobretons da membrana são em geral não-harmônicos).

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