Um elemento diferencial está sujeito às tensões (em kpsi): σ_{1}=10, σ_{2}= 0, σ_{3}=-20. Um material frágil possui resistências (em kpsi) S_{u t}=50, S_{u c}=90. Calcule o fator de segurança e desenhe os diagramas σ_{1}-σ_{3} de cada teoria, usando:
Teoria de Coulomb-Mohr

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e o que é pedido):
  • Tensões principais (em kpsi): \sigma_{1}=10, \sigma_{2}=0, \sigma_{3}=-20.
  • Resistências do material (em kpsi): S_{ut}=50 (tração), S_{uc}=90 (compressão, valor absoluto).
  • O que é pedido:
    1. Calcular o fator de segurança usando a Teoria de Coulomb–Mohr.
    2. Desenhar (descrever) o diagrama \sigma_{1} versus \sigma_{3} correspondente à Teoria de Coulomb–Mohr (ou seja, traçar a linha de falha/envelope no plano \sigma_{1}- \sigma_{3} e posicionar o estado de tensões e o ponto de falha escalado).

Passo 2

Breve aula sobre a Teoria de Coulomb–Mohr e como ela se aplica aqui (sem pular etapas):
  • A Teoria de Coulomb–Mohr é uma forma de representar a resistência à falha de um material frágil através de um envelope linear no plano tensão normal ( \sigma) versus tensão de cisalhamento ( \tau). Em termos das tensões principais \sigma_1 e \sigma_3 a condição de falha (igualdade quando o estado está no limite) pode ser escrita como
\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} = c - \frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}\tan\varphi.
Explicação das grandezas:
  • \frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} é o raio do círculo de Mohr (máxima tensão de cisalhamento).
  • c é a coesão (unidade de tensão, aqui kpsi) — o termo de resistência sem influência do esforço normal.
  • \varphi é o ângulo de atrito interno (modelo de Coulomb) e \tan\varphi aparece no termo que reduz a resistência com a tensão normal.
  • Essa equação define, no plano (\sigma_1,\sigma_3), uma reta (o envelope de falha) que separa estados seguros de estados de falha.
Método para obter c e \varphi:
  • Usa-se os resultados de um ensaio uniaxial à tração e à compressão (pontos conhecidos do envelope). Para uniaxial à tração: (\sigma_1=\!S_{ut},\\ \sigma_3=0). Para uniaxial à compressão: (\sigma_1=0,\\ \sigma_3=-S_{uc}). Substituindo esses pontos na equação obtém-se duas equações que permitem calcular c e \tan\varphi.

Passo 3

Calcular \tan\varphi e c a partir de S_{ut} e S_{uc}.
  1. Substituindo o caso de tração uniaxial (\sigma_1=S_{ut},\\ \sigma_3=0) na fórmula de falha:
\frac{S_{ut}-0}{2} = c - \frac{S_{ut}+0}{2}\tan\varphi
ou seja
\frac{S_{ut}}{2} = c - \frac{S_{ut}}{2}\tan\varphi.
  1. Substituindo o caso de compressão uniaxial (\sigma_1=0,\\ \sigma_3=-S_{uc}):
\frac{0-(-S_{uc})}{2} = c - \frac{0+(-S_{uc})}{2}\tan\varphi
ou seja
\frac{S_{uc}}{2} = c + \frac{S_{uc}}{2}\tan\varphi.
  1. Subtraindo as duas equações para eliminar c:
\frac{S_{uc}-S_{ut}}{2} = \frac{S_{uc}+S_{ut}}{2}\tan\varphi
portanto
\tan\varphi=\frac{S_{uc}-S_{ut}}{S_{uc}+S_{ut}}.
  1. Substituindo os números S_{ut}=50 e S_{uc}=90:
\tan\varphi=\frac{90-50}{90+50}=\frac{40}{140}=\frac{2}{7}\approx 0,285714.
Assim \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{2}{7}\right)\approx 15,945^\circ.
  1. Agora c (usando por exemplo a equação da compressão):
c=\frac{S_{uc}}{2} - \frac{S_{uc}}{2}\tan\varphi = \frac{S_{uc}}{2}\bigl(1-\tan\varphi\bigr).
Com os números:
c=45\bigl(1-0,285714\bigr)=45\cdot 0,714286=32,142857\\ \text{kpsi}.
Resumo numérico (arredondando convenientemente):
  • \tan\varphi=\dfrac{2}{7}\approx 0,285714,
  • \varphi\approx 15,945^\circ,
  • c\approx 32,143\\ \text{kpsi}.

Passo 4

Como calcular o fator de segurança (FS) para o estado de tensões dado:
  • Interpretamos o fator de segurança N como o fator multiplicativo tal que, ao multiplicar as tensões aplicadas por N, o estado escalado atinge exatamente a condição de falha de Coulomb–Mohr. Ou seja, buscamos N tal que (N\sigma_1,N\sigma_3) satisfaça a igualdade da teoria.
Partindo da equação de falha com \sigma_1\to N\sigma_1 e \sigma_3\to N\sigma_3:
\frac{N\sigma_{1}-N\sigma_{3}}{2} = c - \frac{N\sigma_{1}+N\sigma_{3}}{2}\tan\varphi.
Fatorando N:
N\left[\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} + \frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}\tan\varphi\right] = c.
Logo
N = \frac{c}{\dfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} + \dfrac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}\tan\varphi }.
Agora substituímos os valores dados:
  • \sigma_{1}-\sigma_{3}=10-(-20)=30.
  • \sigma_{1}+\sigma_{3}=10+(-20)=-10.
  • Já temos c\approx 32,142857 e \tan\varphi=\dfrac{2}{7}.
Compute o denominador:
\frac{30}{2} + \frac{-10}{2}\tan\varphi = 15 -5\tan\varphi = 15 -5\cdot\frac{2}{7} = 15 - \frac{10}{7} = 15 - 1,428571 = 13,571429.
Portanto
N = \frac{32,142857}{13,571429}\approx 2,368421.
Arredondando de forma prática para relatório de prova: N\approx 2,368. Isso significa que o estado atual está seguro e poderia ser escalado até aproximadamente 2,37 vezes antes de atingir a falha segundo Coulomb–Mohr.

Passo 5

Verificação e pontos para o desenho \sigma_{1} versus \sigma_{3} (como traçar o diagrama na prova, passo a passo):
  1. A equação da reta envelope no plano (\sigma_3,\sigma_1) pode ser rearranjada para a forma linear \sigma_{1}=m\,\sigma_{3}+b. A partir da equação de falha chega-se (fazendo as manipulações algébricas) a
\sigma_{1} = \frac{1-\tan\varphi}{1+\tan\varphi}\,\sigma_{3} + \frac{2c}{1+\tan\varphi}.
  1. Para os números que achamos:
\text{slope } m = \frac{1-\tan\varphi}{1+\tan\varphi} = \frac{1-\tfrac{2}{7}}{1+\tfrac{2}{7}} = \frac{5/7}{9/7}=\frac{5}{9}\approx 0,555556,
\text{intercept } b = \frac{2c}{1+\tan\varphi} = \frac{2\cdot 32,142857}{1+0,285714} = 50.
Observação: isso confirma que a reta passa por (\sigma_{3}=0,\sigma_{1}=50) (ensaio de tração) e por (\sigma_{3}=-90,\sigma_{1}=0) (ensaio de compressão), como esperado.
  1. Para desenhar o diagrama na prova:
  • Trace eixos: eixo horizontal \sigma_3 (valores negativos para compressão à esquerda), eixo vertical \sigma_1.
  • Marque os pontos de referência do envelope:
    • (\sigma_3=0,\sigma_1=50),
    • (\sigma_3=-90,\sigma_1=0).
  • Una esses pontos com uma reta — essa é a linha de falha Coulomb–Mohr.
  • Marque o estado atual (\sigma_{3}=-20,\sigma_{1}=10).
  • Para mostrar o fator de segurança, trace a reta que liga a origem (0,0) ao ponto atual e estenda-a até que corte o envelope; a razão entre a distância origem→interseção e origem→ponto atual é o fator N. Numericamente, o ponto escalado de falha é (N\sigma_{3},N\sigma_{1}) = (-20\cdot N,\\\ 10\cdot N).
  1. Coordenadas numéricas para o ponto de falha escalado (usar N\approx 2,368421):
(N\sigma_{1},N\sigma_{3}) \approx (10\cdot 2,368421,\\\ -20\cdot 2,368421)\approx (23,68421,\\\ -47,36842).
Esse ponto fica exatamente sobre a reta envelope (pode-se verificar substituindo \sigma_3=-47,36842 na equação \sigma_1=\tfrac{5}{9}\sigma_3+50 obtém-se \sigma_1\approx 23,68421).

Resposta

Fator de segurança N \approx 2,368
Envelope Coulomb–Mohr no plano \sigma_{1} vs \sigma_{3}: \displaystyle \sigma_{1}=\frac{5}{9}\sigma_{3}+50.
Ponto de tensão atual: (\sigma_{3},\sigma_{1})=(-20,\;10).
Ponto de falha escalado: (\sigma_{3},\sigma_{1})\approx(-47,368,\;23,684).

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