Um elemento diferencial está sujeito às tensões (em kpsi):
. Um material frágil possui resistências (em kpsi)
. Calcule o fator de segurança e desenhe os diagramas
de cada teoria, usando:
Teoria de Coulomb-Mohr
Teoria de Coulomb-Mohr
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e o que é pedido):
- Tensões principais (em kpsi):
, , . - Resistências do material (em kpsi):
(tração), (compressão, valor absoluto). - O que é pedido:
- Calcular o fator de segurança usando a Teoria de Coulomb–Mohr.
- Desenhar (descrever) o diagrama
versus correspondente à Teoria de Coulomb–Mohr (ou seja, traçar a linha de falha/envelope no plano - e posicionar o estado de tensões e o ponto de falha escalado).
Passo 2
Breve aula sobre a Teoria de Coulomb–Mohr e como ela se aplica aqui (sem pular etapas):
- A Teoria de Coulomb–Mohr é uma forma de representar a resistência à falha de um material frágil através de um envelope linear no plano tensão normal (
) versus tensão de cisalhamento ( ). Em termos das tensões principais e a condição de falha (igualdade quando o estado está no limite) pode ser escrita como
Explicação das grandezas:
-
é o raio do círculo de Mohr (máxima tensão de cisalhamento). -
é a coesão (unidade de tensão, aqui kpsi) — o termo de resistência sem influência do esforço normal. -
é o ângulo de atrito interno (modelo de Coulomb) e aparece no termo que reduz a resistência com a tensão normal. - Essa equação define, no plano
, uma reta (o envelope de falha) que separa estados seguros de estados de falha.
Método para obter
e
:
- Usa-se os resultados de um ensaio uniaxial à tração e à compressão (pontos conhecidos do envelope). Para uniaxial à tração:
. Para uniaxial à compressão: . Substituindo esses pontos na equação obtém-se duas equações que permitem calcular e .
Passo 3
Calcular
e
a partir de
e
.
- Substituindo o caso de tração uniaxial
na fórmula de falha:
ou seja
- Substituindo o caso de compressão uniaxial
:
ou seja
- Subtraindo as duas equações para eliminar
:
portanto
- Substituindo os números
e :
Assim
.
- Agora
(usando por exemplo a equação da compressão):
Com os números:
Resumo numérico (arredondando convenientemente):
-
, -
, -
.
Passo 4
Como calcular o fator de segurança (FS) para o estado de tensões dado:
- Interpretamos o fator de segurança
como o fator multiplicativo tal que, ao multiplicar as tensões aplicadas por , o estado escalado atinge exatamente a condição de falha de Coulomb–Mohr. Ou seja, buscamos tal que satisfaça a igualdade da teoria.
Partindo da equação de falha com
e
:
Fatorando
:
Logo
Agora substituímos os valores dados:
-
. -
. - Já temos
e .
Compute o denominador:
Portanto
Arredondando de forma prática para relatório de prova:
. Isso significa que o estado atual está seguro e poderia ser escalado até aproximadamente
vezes antes de atingir a falha segundo Coulomb–Mohr.
Passo 5
Verificação e pontos para o desenho
versus
(como traçar o diagrama na prova, passo a passo):
- A equação da reta envelope no plano
pode ser rearranjada para a forma linear . A partir da equação de falha chega-se (fazendo as manipulações algébricas) a
- Para os números que achamos:
Observação: isso confirma que a reta passa por
(ensaio de tração) e por
(ensaio de compressão), como esperado.
- Para desenhar o diagrama na prova:
- Trace eixos: eixo horizontal
(valores negativos para compressão à esquerda), eixo vertical . - Marque os pontos de referência do envelope:
-
, -
.
-
- Una esses pontos com uma reta — essa é a linha de falha Coulomb–Mohr.
- Marque o estado atual
. - Para mostrar o fator de segurança, trace a reta que liga a origem
ao ponto atual e estenda-a até que corte o envelope; a razão entre a distância origem→interseção e origem→ponto atual é o fator . Numericamente, o ponto escalado de falha é = .
- Coordenadas numéricas para o ponto de falha escalado (usar
):
Esse ponto fica exatamente sobre a reta envelope (pode-se verificar substituindo
na equação
obtém-se
).
Resposta
Fator de segurança
Envelope Coulomb–Mohr no plano vs
:
.
Ponto de tensão atual: .
Ponto de falha escalado: .
Envelope Coulomb–Mohr no plano
Ponto de tensão atual:
Ponto de falha escalado: