O fundo de um recipiente contendo óleo, cujo peso específico é \gamma=800 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}, está submetido a uma pressão de 4 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Exprima essa pressão em metros de coluna desse óleo.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, devagarinho e com calma (você consegue!):
  • Dados fornecidos:
    • O peso específico do óleo é \gamma=800\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}.
    • A pressão aplicada no fundo é p=4\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2}.
  • Pergunta: expressar essa pressão como altura h de coluna desse óleo, ou seja, encontrar h em metros tal que a coluna de óleo de altura h exerça a pressão dada.

Passo 2

Entendendo a relação física que vamos usar (explicação didática):
  • A pressão no fundo de uma coluna de líquido de altura h e área de base A vem do peso do líquido acima da área A.
  • O volume da coluna é V=A\cdot h.
  • O peso do líquido (força) é dado pelo peso específico vezes o volume, isto é \text{peso}=\gamma\cdot V=\gamma\cdot A\cdot h.
  • Pressão é força por unidade de área, portanto:
p=\frac{\text{peso}}{A}=\frac{\gamma\cdot A\cdot h}{A}=\gamma\cdot h.
  • Nesta fórmula:
    • p é a pressão na base (unidade: \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2} ou outras),
    • \gamma é o peso específico do fluido (unidade: \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}),
    • h é a altura da coluna de fluido (unidade: \mathrm{m}).
  • Portanto, para encontrar h isolamos:
h=\frac{p}{\gamma}.
  • Observação de unidades: para usar essa fórmula diretamente, p e \gamma precisam estar em unidades compatíveis (por exemplo, \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2} e \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}).

Passo 3

Converter a pressão dada p=4\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} para \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}:
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, então
1\\ \mathrm{cm}^{2}=(10^{-2}\\ \mathrm{m})^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Logo
1\\ \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{cm}^{2}} = \frac{1\\ \mathrm{kgf}}{10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}} = 10^{4}\\ \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{m}^{2}}.
  • Assim a pressão p em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2} é
p = 4\\ \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{cm}^{2}} = 4\times 10^{4}\\ \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{m}^{2}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula h=\dfrac{p}{\gamma} com os valores convertidos:
h=\frac{p}{\gamma}=\frac{4\times 10^{4}\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}}{800\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}}.
Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{4\times 10^{4}}{800}=\frac{40000}{800}.
Dividindo ambos por 100:
\frac{40000}{800}=\frac{400}{8}=50.
Portanto h=50 (unidade: metros).

Passo 5

Checagem rápida de coerência:
  • Unidades: \dfrac{\mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}}=\mathrm{m}, ok.
  • Valor faz sentido numericamente: uma pressão de 4\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} (que é relativamente alta) corresponde a 50\\ \mathrm{m} de óleo com peso específico menor que o da água, consistente.

Resposta

50\\ \mathrm{m}

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