6- O elemento infinitesimal que representa um ponto do material está sujeito ao estado plano de deformações \varepsilon_{x}=500.10^{-6}, \varepsilon_{y}=-300.10^{-6}, \gamma_{x y}=200.10^{-6}, o qual tende a torcê-lo. Determinas as deformações equivalentes que atuam sobre um elemento orientado no ponto a 30^{\circ} no sentido horário em relação à posição original

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de deformações no material
\varepsilon_{x}=500\times10^{-6},\quad \varepsilon_{y}=-300\times10^{-6},\quad \gamma_{xy}=200\times10^{-6}
e pede as deformações normais e de cisalhamento num elemento orientado a 30^\circ no sentido horário.
O conteúdo a usar é a transformação de deformações em plano, que nos dá as componentes normais \varepsilon_{x'}, \varepsilon_{y'} e a de cisalhamento \gamma_{x'y'} num eixo girado de um ângulo \theta.

Passo 2

As fórmulas para o eixo x' girado de um ângulo \theta no sentido anti-horário são
\varepsilon_{x'} = \frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} +\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\cos2\theta +\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\varepsilon_{y'} = \frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} -\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\cos2\theta -\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\gamma_{x'y'} = -\bigl(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}\bigr)\sin2\theta +\gamma_{xy}\cos2\theta.
Como o elemento foi girado 30^\circ no sentido horário, tomamos \theta=-30^\circ.

Passo 3

Calculamos as quantidades intermediárias e os valores trigonométricos de 2\theta=-60^\circ:
\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} =\frac{500-300}{2}\times10^{-6}=100\times10^{-6},
\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2} =\frac{500-(-300)}{2}\times10^{-6}=400\times10^{-6},
\frac{\gamma_{xy}}{2}=100\times10^{-6},
\cos2\theta=\cos(-60^\circ)=0{,}5,\quad \sin2\theta=\sin(-60^\circ)=-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx -0{,}8660.

Passo 4

Aplicando para \varepsilon_{x'} e \varepsilon_{y'}:
\varepsilon_{x'}=100\times10^{-6} +400\times10^{-6}\cdot0{,}5 +100\times10^{-6}\cdot(-0{,}8660) =(100+200-86{,}6)\times10^{-6} =213{,}4\times10^{-6},
\varepsilon_{y'}=100\times10^{-6} -400\times10^{-6}\cdot0{,}5 -100\times10^{-6}\cdot(-0{,}8660) =(100-200+86{,}6)\times10^{-6} =-13{,}4\times10^{-6}.

Passo 5

Agora a deformação de cisalhamento \gamma_{x'y'}:
\gamma_{x'y'} = -\bigl(500-(-300)\bigr)\times10^{-6}\cdot(-0{,}8660) +200\times10^{-6}\cdot0{,}5 =( -800\times10^{-6}\cdot(-0{,}8660) +100\times10^{-6} ) =792{,}8\times10^{-6}.

Resposta

\varepsilon_{x'}=213{,}4\times10^{-6} \varepsilon_{y'}=-13{,}4\times10^{-6} \gamma_{x'y'}=792{,}8\times10^{-6}

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