Um elemento de máquina de 100 kg suportado por quatro molas, cada uma de constante k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, está sujeito a uma força periódica de frequência de 0,8 \mathrm{~Hz} e amplitude de 100 N . Determine a amplitude da força oscilante transmitida à fundação se o amortecedor é removido.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a amplitude da força oscilante transmitida à fundação quando o amortecedor é removido.\n
Dados fornecidos (vou listar explicitamente tudo que serve para resolver):
\text{massa } m = 100\\ \mathrm{kg}
\text{quatro molas, cada uma com } k = 200\\ \mathrm{N/m}
\text{frequência de excitação } f = 0{,}8\\ \mathrm{Hz}
O amortecedor foi removido, ou seja, não há amortecimento (c=0).\n
A pergunta específica: calcular a amplitude (valor máximo) da força transmitida à fundação, isto é, a amplitude da reação das molas frente à força periódica aplicada.
Passo 2
Primeiro passo físico-matemático: obter a rigidez equivalente das quatro molas. Quando molas estão em paralelo (cada mola liga a massa diretamente à fundação), as constantes se somam. Portanto:
k_{\text{eq}} = 4\cdot k = 4\cdot 200 = 800\\ \mathrm{N/m}.
Explicação curta: molas em paralelo carregam a carga em conjunto; a rigidez total aumenta somando as constantes.
Passo 3
Escrever a equação de movimento do sistema massa-mola sem amortecimento sob força harmônica aplicada diretamente à massa. Tomando x(t) como deslocamento da massa em relação à fundação:
m\ddot{x} + k_{\text{eq}} x = P_m\sin(\omega t).
Aqui:
m é a massa (em kg),
\ddot{x} é a aceleração (m/s^2),
k_{\text{eq}} é a rigidez equivalente (N/m),
P_m é a amplitude da força excitadora (N),
\omega é a pulsação da excitação (rad/s), com \omega = 2\pi f.
Para encontrar a resposta estacionária (regime forçado permanente) assumimos uma solução particular harmônica do tipo x_p(t)=X\sin(\omega t) (sem fase por ora). Substituindo na equação:
É útil interpretar essa expressão: o fator \dfrac{k_{\text{eq}}}{|k_{\text{eq}}-m\omega^2|} é uma amplificação dinâmica (pode ser maior ou menor que 1). Se \omega se aproxima da frequência natural \omega_n=\sqrt{k_{\text{eq}}/m}, o denominador tende a zero e, sem amortecimento, a amplitude tende ao infinito (ressonância ideal).
Passo 5
Agora calculamos os valores numéricos passo a passo.
Arredondando de forma adequada para duas casas significativas, obtemos aproximadamente 46{,}4\\ \mathrm{N}.
Comentário final didático e encorajador: a força transmitida é bem menor que a força aplicada porque a excitação está em frequência maior que a natural e a inércia da massa “filtra” parte da carga dinâmica — sem amortecimento, perto da ressonância isso poderia explodir matematicamente, mas aqui estamos longe o suficiente para ter amplitude finita.