Um elemento de máquina de 100 kg suportado por quatro molas, cada uma de constante k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, está sujeito a uma força periódica de frequência de 0,8 \mathrm{~Hz} e amplitude de 100 N . Determine a amplitude da força oscilante transmitida à fundação se o amortecedor é removido.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a amplitude da força oscilante transmitida à fundação quando o amortecedor é removido.\n
Dados fornecidos (vou listar explicitamente tudo que serve para resolver):
\text{massa } m = 100\\ \mathrm{kg}
\text{quatro molas, cada uma com } k = 200\\ \mathrm{N/m}
\text{força excitadora } P(t)=P_m\sin(\omega t)\\ \text{com }P_m=100\\ \mathrm{N}ç
\text{frequência de excitação } f = 0{,}8\\ \mathrm{Hz}êçã
O amortecedor foi removido, ou seja, não há amortecimento ( c=0).\n
A pergunta específica: calcular a amplitude (valor máximo) da força transmitida à fundação, isto é, a amplitude da reação das molas frente à força periódica aplicada.

Passo 2

Primeiro passo físico-matemático: obter a rigidez equivalente das quatro molas. Quando molas estão em paralelo (cada mola liga a massa diretamente à fundação), as constantes se somam. Portanto:
k_{\text{eq}} = 4\cdot k = 4\cdot 200 = 800\\ \mathrm{N/m}.
Explicação curta: molas em paralelo carregam a carga em conjunto; a rigidez total aumenta somando as constantes.

Passo 3

Escrever a equação de movimento do sistema massa-mola sem amortecimento sob força harmônica aplicada diretamente à massa. Tomando x(t) como deslocamento da massa em relação à fundação:
m\ddot{x} + k_{\text{eq}} x = P_m\sin(\omega t).
Aqui:
  • m é a massa (em kg),
  • \ddot{x} é a aceleração (m/s^2),
  • k_{\text{eq}} é a rigidez equivalente (N/m),
  • P_m é a amplitude da força excitadora (N),
  • \omega é a pulsação da excitação (rad/s), com \omega = 2\pi f.
Para encontrar a resposta estacionária (regime forçado permanente) assumimos uma solução particular harmônica do tipo x_p(t)=X\sin(\omega t) (sem fase por ora). Substituindo na equação:
m(-\omega^2 X)\sin(\omega t) + k_{\text{eq}} X\sin(\omega t) = P_m\sin(\omega t).
Cancelando o \sin(\omega t) (não nulo para a forma senoidal), obtemos:
(k_{\text{eq}} - m\omega^2)\,X = P_m.
Logo a amplitude do deslocamento é
X = \frac{P_m}{k_{\text{eq}} - m\omega^2}.
Como amplitude é um valor positivo, tomamos o módulo quando o denominador for negativo:
X = \left|\frac{P_m}{k_{\text{eq}} - m\omega^2}\right|.

Passo 4

A força transmitida à fundação pelas molas é simplesmente a força elástica F_t(t)=k_{\text{eq}} x(t). Portanto a amplitude da força transmitida é
F_{t,\text{amp}} = k_{\text{eq}} \, X = k_{\text{eq}} \left|\frac{P_m}{k_{\text{eq}} - m\omega^2}\right| = P_m \cdot \frac{k_{\text{eq}}}{\big|k_{\text{eq}} - m\omega^2\big|}.
É útil interpretar essa expressão: o fator \dfrac{k_{\text{eq}}}{|k_{\text{eq}}-m\omega^2|} é uma amplificação dinâmica (pode ser maior ou menor que 1). Se \omega se aproxima da frequência natural \omega_n=\sqrt{k_{\text{eq}}/m}, o denominador tende a zero e, sem amortecimento, a amplitude tende ao infinito (ressonância ideal).

Passo 5

Agora calculamos os valores numéricos passo a passo.
Calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 0{,}8 = 1{,}6\pi \approx 5{,}026548\\ \text{rad/s}.
Calcular a frequência natural (pulsação) do conjunto:
\omega_n = \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{m}} = \sqrt{\frac{800}{100}} = \sqrt{8} \approx 2{,}828427\\ \text{rad/s}.
Razão de frequências:
\frac{\omega}{\omega_n}\approx \frac{5{,}0265}{2{,}8284}\approx 1{,}7778.
Ou seja, a excitação está acima da frequência natural (não estamos exatamente em ressonância).

Passo 6

Calcular o denominador numérico:
k_{\text{eq}} - m\omega^2 = 800 - 100\cdot(5{,}026548)^2.
Calcule \omega^2:
\omega^2 \approx 5{,}026548^2 \approx 25{,}266.
Então
m\omega^2 \approx 100\cdot 25{,}266 = 2526{,}6,
e
k_{\text{eq}} - m\omega^2 \approx 800 - 2526{,}6 = -1726{,}6.
Tomando o módulo:
\big|k_{\text{eq}} - m\omega^2\big| \approx 1726{,}6\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Agora a amplitude da força transmitida:
F_{t,\text{amp}} = P_m\cdot\frac{k_{\text{eq}}}{\big|k_{\text{eq}} - m\omega^2\big|} = 100\cdot\frac{800}{1726{,}6}.
Calcule:
F_{t,\text{amp}} \approx \frac{80000}{1726{,}6} \approx 46{,}36\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma adequada para duas casas significativas, obtemos aproximadamente 46{,}4\\ \mathrm{N}.
Comentário final didático e encorajador: a força transmitida é bem menor que a força aplicada porque a excitação está em frequência maior que a natural e a inércia da massa “filtra” parte da carga dinâmica — sem amortecimento, perto da ressonância isso poderia explodir matematicamente, mas aqui estamos longe o suficiente para ter amplitude finita.

Resposta

46{,}4\\ \mathrm{N}

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