Exercício 4) A parte útil de um corpo de prova de tração de seção transversal circular possui diâmetro
, e o seu comprimento inicial é de
. Ao ser ensaiado por uma tensão de 200 MPa , apresenta um alongamento na região elástica de 0,0526 mm . Calcule a ductilidade por meio da redução de área percentual deste corpo de prova. Calcule o valor dos módulos de resiliência e de tenacidade do material.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados fornecidos:
(diâmetro da seção circular inicial),
(comprimento inicial da parte útil),
(tensão aplicada),
(alongamento observado na região elástica).
Perguntas do enunciado:
- Calcular a ductilidade por meio da redução de área percentual deste corpo de prova.
- Calcular o módulo de resiliência do material.
- Calcular o módulo de tenacidade do material.
Observação importante: o enunciado só fornece comportamento elástico (alongamento elástico sob
). Para obter redução de área e módulo de tenacidade normalmente precisaríamos do comportamento plástico/ruptura (elongação até fratura). Aqui vamos calcular a redução de área associada à contração elástica lateral (isto é, a redução de área que decorre da deformação elástica sob a tensão informada) e interpretar os módulos de energia baseados nessa resposta elástica, explicando as hipóteses usadas.
Passo 2
Calcular a deformação axial (engenharia) na região elástica. A definição de deformação axial (engenharia) é
onde
é o alongamento e
o comprimento inicial. Substituindo os dados:
Fazendo a divisão:
Interpretação rápida: isto significa que a amostra alongou cerca de
sob a tensão aplicada — um valor pequeno, coerente com deformação elástica.
Passo 3
Determinar o módulo de Young
usando a lei de Hooke (válida na região elástica linear):
Isolando
:
Substituindo
e
calculado:
Calculando:
Breve comentário didático:
mede a rigidez elástica — quanto maior
, menor a deformação para dada tensão. O valor obtido é típico de aços (ordem de
), então faz sentido.
Passo 4
Relacionar deformação axial com deformação lateral na região elástica: a lei de Poisson dá
onde
é o coeficiente de Poisson (variável adimensional que relaciona a contração lateral com o alongamento axial). Não foi fornecido
no enunciado; para metais ferrosos é comum usar
. Vou assumir a hipótese usual:
Então
Interpretação: o sinal negativo indica redução do diâmetro (contração lateral). O valor absoluto é pequeno porque a deformação axial é pequena.
Passo 5
Calcular o novo diâmetro (após a contração elástica) e as áreas inicial e final. A variação relativa do diâmetro dá
Substituindo:
A área de secção circular é
Área inicial:
Área final (usando
):
Cálculo da redução de área percentual (medida de ductilidade pedida pelo enunciado, aqui associada à contração elástica):
Substituindo os valores:
Observação didática: normalmente “ductilidade por redução de área” refere-se à redução de área após fratura (pode ser dezenas de %). Aqui, com os dados fornecidos (apenas resposta elástica), calculamos a redução de área elástica causada pela contração lateral. Esse valor é muito pequeno (~0,06%), o que faz sentido para uma deformação elástica tão pequena.
Passo 6
Calcular o módulo de resiliência
. Definição e ideia: o módulo de resiliência é a energia por unidade de volume que o material pode armazenar elasticamente até o limite elástico (área sob a curva tensão-deformação até o limite elástico). Para um material linear-elástico até a tensão
considerada, essa energia (por unidade de volume) é a área do triângulo:
Substituindo
e
:
Calculando:
Unidades:
. Portanto
Alternativa útil (mesma expressão rearranjada): como
, também vale
o que dá o mesmo resultado se calcular por aí.
Passo 7
Calcular o módulo de tenacidade
. Definição e interpretação: o módulo de tenacidade (toughness) é a energia por unidade de volume absorvida até a fratura (área sob toda a curva tensão-deformação até ruptura). Para calcular
precisamos conhecer a curva completa (em particular a deformação e a tensão na fratura). No enunciado só temos resposta elástica até
e não há informação sobre carga máxima, escoamento plástico ou ruptura. Portanto não temos dados suficientes para calcular a tenacidade total até fratura.
Para seguir adiante precisamos adotar uma hipótese. Duas possibilidades razoáveis:
- Hipótese A (conservadora/compatível com os dados fornecidos): interpretar que só temos comportamento elástico até
e não há informação adicional sobre a fratura; então a energia absorvida até o máximo conhecido ( ) é exatamente o módulo de resiliência calculado em
Passo 8
- Hipótese B (não adotada por falta de dados): estimar
requer dados de ensaio até fratura (esforço máximo, alongamento até ruptura, forma da curva plástico-elástica), que não foram fornecidos; portanto não é possível determinar sem informação adicional.
Vou adotar a Hipótese A (usar os dados conhecidos até
), e então
Aviso: se o objetivo fosse a tenacidade até fratura real do material, seria preciso fornecer (ou medir) a curva tensão-deformação completa até ruptura.
Passo 9
Resumo numérico final (valores arredondados de forma razoável, mantendo unidades):
-
redução de área (devida à contração elástica sob ): aproximadamente . - Módulo de resiliência
: aproximadamente (ou , que equivale a ). - Módulo de tenacidade
: com os dados fornecidos, só podemos afirmar a energia absorvida até , que é igual a (ver explicação no passo anterior). Se quiser a tenacidade até fratura real, traga a elongação/ tensão de ruptura ou a curva tensão-deformação completa e eu calculo na hora!
Resposta
Redução de área percentual:
Módulo de resiliência:
Módulo de tenacidade (até , dado disponível):
Módulo de resiliência:
Módulo de tenacidade (até