Exercício 4) A parte útil de um corpo de prova de tração de seção transversal circular possui diâmetro \mathrm{d}=12 \mathrm{~mm}, e o seu comprimento inicial é de 50,8 \mathrm{~mm}. Ao ser ensaiado por uma tensão de 200 MPa , apresenta um alongamento na região elástica de 0,0526 mm . Calcule a ductilidade por meio da redução de área percentual deste corpo de prova. Calcule o valor dos módulos de resiliência e de tenacidade do material.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados fornecidos:
\;d=12\\ \text{mm} (diâmetro da seção circular inicial),
\;L_0=50{,}8\\ \text{mm} (comprimento inicial da parte útil),
\;\sigma=200\\ \text{MPa} (tensão aplicada),
\;\Delta L_{\text{el}}=0{,}0526\\ \text{mm} (alongamento observado na região elástica).
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular a ductilidade por meio da redução de área percentual deste corpo de prova.
  2. Calcular o módulo de resiliência do material.
  3. Calcular o módulo de tenacidade do material.
Observação importante: o enunciado só fornece comportamento elástico (alongamento elástico sob \sigma=200\\ \text{MPa}). Para obter redução de área e módulo de tenacidade normalmente precisaríamos do comportamento plástico/ruptura (elongação até fratura). Aqui vamos calcular a redução de área associada à contração elástica lateral (isto é, a redução de área que decorre da deformação elástica sob a tensão informada) e interpretar os módulos de energia baseados nessa resposta elástica, explicando as hipóteses usadas.

Passo 2

Calcular a deformação axial (engenharia) na região elástica. A definição de deformação axial (engenharia) é
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},
onde \Delta L é o alongamento e L_0 o comprimento inicial. Substituindo os dados:
\varepsilon = \frac{0{,}0526}{50{,}8}.
Fazendo a divisão:
\varepsilon \approx 0{,}001035433.
Interpretação rápida: isto significa que a amostra alongou cerca de 0{,}1035\% sob a tensão aplicada — um valor pequeno, coerente com deformação elástica.

Passo 3

Determinar o módulo de Young E usando a lei de Hooke (válida na região elástica linear):
\sigma = E\,\varepsilon.
Isolando E:
E = \frac{\sigma}{\varepsilon}.
Substituindo \sigma=200\\ \text{MPa} e \varepsilon calculado:
E = \frac{200}{0{,}001035433}\\ \text{MPa}.
Calculando:
E \approx 193\,140\\ \text{MPa}\quad(\text{ou }193{,}14\\ \text{GPa}).
Breve comentário didático: E mede a rigidez elástica — quanto maior E, menor a deformação para dada tensão. O valor obtido é típico de aços (ordem de 200\\ \text{GPa}), então faz sentido.

Passo 4

Relacionar deformação axial com deformação lateral na região elástica: a lei de Poisson dá
\varepsilon_{\text{lat}} = -\nu\,\varepsilon,
onde \nu é o coeficiente de Poisson (variável adimensional que relaciona a contração lateral com o alongamento axial). Não foi fornecido \nu no enunciado; para metais ferrosos é comum usar \nu\approx 0{,}30. Vou assumir a hipótese usual:
\nu = 0{,}30.
Então
\varepsilon_{\text{lat}} = -0{,}30\times 0{,}001035433 \approx -0{,}000310630.
Interpretação: o sinal negativo indica redução do diâmetro (contração lateral). O valor absoluto é pequeno porque a deformação axial é pequena.

Passo 5

Calcular o novo diâmetro (após a contração elástica) e as áreas inicial e final. A variação relativa do diâmetro dá
d_f = d\,(1+\varepsilon_{\text{lat}}).
Substituindo:
d_f = 12\,(1-0{,}000310630)\\ \text{mm}\approx 11{,}99627\\ \text{mm}.
A área de secção circular é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Área inicial:
A_0=\frac{\pi(12)^2}{4}=\pi\cdot36\approx 113{,}0973\\ \text{mm}^2.
Área final (usando d_f):
A_f=\frac{\pi d_f^2}{4}\approx 113{,}0271\\ \text{mm}^2.
Cálculo da redução de área percentual (medida de ductilidade pedida pelo enunciado, aqui associada à contração elástica):
\%\text{Redução de área}=\frac{A_0-A_f}{A_0}\times 100\%.çãá
Substituindo os valores:
\%\text{Redução de área}\approx \frac{113{,}0973-113{,}0271}{113{,}0973}\times100\%\approx 0{,}0621\%.çãá
Observação didática: normalmente “ductilidade por redução de área” refere-se à redução de área após fratura (pode ser dezenas de %). Aqui, com os dados fornecidos (apenas resposta elástica), calculamos a redução de área elástica causada pela contração lateral. Esse valor é muito pequeno (~0,06%), o que faz sentido para uma deformação elástica tão pequena.

Passo 6

Calcular o módulo de resiliência U_r. Definição e ideia: o módulo de resiliência é a energia por unidade de volume que o material pode armazenar elasticamente até o limite elástico (área sob a curva tensão-deformação até o limite elástico). Para um material linear-elástico até a tensão \sigma considerada, essa energia (por unidade de volume) é a área do triângulo:
U_r=\frac{1}{2}\sigma\,\varepsilon.
Substituindo \sigma=200\\ \text{MPa} e \varepsilon=0{,}001035433:
U_r=\frac{1}{2}\times 200\times 0{,}001035433\\ \text{MPa}.
Calculando:
U_r\approx 0{,}10357\\ \text{MPa}.
Unidades: 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2=1\\ \text{MJ}/\text{m}^3. Portanto
U_r\approx 0{,}10357\\ \text{MJ}/\text{m}^3 = 103{,}57\\ \text{kJ}/\text{m}^3.
Alternativa útil (mesma expressão rearranjada): como \varepsilon=\sigma/E, também vale
U_r=\frac{\sigma^2}{2E},
o que dá o mesmo resultado se calcular por aí.

Passo 7

Calcular o módulo de tenacidade U_t. Definição e interpretação: o módulo de tenacidade (toughness) é a energia por unidade de volume absorvida até a fratura (área sob toda a curva tensão-deformação até ruptura). Para calcular U_t precisamos conhecer a curva completa (em particular a deformação e a tensão na fratura). No enunciado só temos resposta elástica até \sigma=200\\ \text{MPa} e não há informação sobre carga máxima, escoamento plástico ou ruptura. Portanto não temos dados suficientes para calcular a tenacidade total até fratura.
Para seguir adiante precisamos adotar uma hipótese. Duas possibilidades razoáveis:
  • Hipótese A (conservadora/compatível com os dados fornecidos): interpretar que só temos comportamento elástico até \sigma=200\\ \text{MPa} e não há informação adicional sobre a fratura; então a energia absorvida até o máximo conhecido ( 200\\ \text{MPa}) é exatamente o módulo de resiliência calculado em

Passo 8

  • Hipótese B (não adotada por falta de dados): estimar U_t requer dados de ensaio até fratura (esforço máximo, alongamento até ruptura, forma da curva plástico-elástica), que não foram fornecidos; portanto não é possível determinar U_t sem informação adicional.
Vou adotar a Hipótese A (usar os dados conhecidos até \sigma=200\\ \text{MPa}), e então
U_t \approx U_r \approx 0{,}10357\\ \text{MPa} = 0{,}10357\\ \text{MJ}/\text{m}^3.
Aviso: se o objetivo fosse a tenacidade até fratura real do material, seria preciso fornecer (ou medir) a curva tensão-deformação completa até ruptura.

Passo 9

Resumo numérico final (valores arredondados de forma razoável, mantendo unidades):
  • \% redução de área (devida à contração elástica sob \sigma=200\\ \text{MPa}): aproximadamente 0{,}0621\%.
  • Módulo de resiliência U_r: aproximadamente 0{,}1036\\ \text{MPa} (ou 0{,}1036\\ \text{MJ}/\text{m}^3, que equivale a 103{,}6\\ \text{kJ}/\text{m}^3).
  • Módulo de tenacidade U_t: com os dados fornecidos, só podemos afirmar a energia absorvida até \sigma=200\\ \text{MPa}, que é igual a U_r (ver explicação no passo anterior). Se quiser a tenacidade até fratura real, traga a elongação/ tensão de ruptura ou a curva tensão-deformação completa e eu calculo na hora!

Resposta

Redução de área percentual: 0{,}0621\%
Módulo de resiliência: 0{,}1036\\ \text{MPa} \left(=0{,}1036\\ \text{MJ}/\text{m}^3\right)
Módulo de tenacidade (até \sigma=200\\ \text{MPa}, dado disponível): 0{,}1036\\ \text{MPa} \left(=0{,}1036\\ \text{MJ}/\text{m}^3\right)

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