Um elemento de máquina de 100 kg suportado por quatro molas, cada uma de constante k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, está sujeito a uma força periódica de frequência de 0,8 \mathrm{~Hz} e amplitude de 100 N . Determine a amplitude da força oscilante transmitida à fundação se um amortecedor com um coeficiente de amortecimento c=420 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m} está ligado à máquina e ao chão

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:\n
  • Massa da máquina: m=100\\ \mathrm{kg}.\n
  • Quatro molas idênticas, cada uma com constante k=200\\ \mathrm{N/m}. (Observação: isso implica que as molas estão em paralelo, então há uma rigidez equivalente; vou usar isso mais adiante.)\n
  • Amortecedor ligado entre a máquina e o chão com coeficiente c=420\\ \mathrm{N\cdot s/m}.\n
  • Força periódica aplicada à massa com amplitude P_{m}=100\\ \mathrm{N} e frequência f=0{,}8\\ \mathrm{Hz}.\n
  • Figura: mostra força aplicada ao corpo apoiado por molas e um amortecedor.\n
    O que se pede: determinar a amplitude da força oscilante que é transmitida à fundação (ou seja, a amplitude da força que as molas + amortecedor aplicam ao chão).

Passo 2

Escolha do método e ideias físicas (explicação didática, sem pular etapas).\n
  • Em regime estacionário (resposta harmônica à excitação P(t)=P_{m}\sin\omega t), a massa oscila com deslocamento harmônico x(t) de mesma frequência \omega. Escrevemos \omega=2\pi f.\n
  • Forças transmitidas à fundação são as forças internas nos elementos que ligam massa ao chão: F_{t}(t)=k_{\text{eq}}\,x(t)+c\,\dot{x}(t), onde k_{\text{eq}} é a rigidez total das molas e c é o amortecimento.\n
  • Em representação fasorial (complexa), para excitação harmônica de amplitude P_{m} e frequência \omega a amplitude complexa do deslocamento é
\tilde{X}=\frac{P_{m}}{k_{\text{eq}}-m\omega^{2}+j c\omega},
onde j é a unidade imaginária. O módulo da amplitude real de deslocamento é |\tilde{X}|=P_{m}/\bigl|k_{\text{eq}}-m\omega^{2}+j c\omega\bigr|.\n
  • A amplitude complexa da força transmitida é
\tilde{F}_{t}=(k_{\text{eq}}+j c\omega)\,\tilde{X},
portanto a amplitude (módulo) da força transmitida é
F_{t,\mathrm{amp}}=P_{m}\,\frac{\bigl|k_{\text{eq}}+j c\omega\bigr|}{\bigl|k_{\text{eq}}-m\omega^{2}+j c\omega\bigr|}.
Essa expressão é intuitiva: o numerador representa a “impedância” do caminho até o solo (molas + amortecedor) e o denominador a impedância dinâmica total vista pela massa.\n
  • Vou usar essa fórmula diretamente, mostrando passo a passo como calcular cada termo e os números.

Passo 3

Calcular a rigidez equivalente das quatro molas colocadas em paralelo.\n
Cada mola tem k=200\\ \mathrm{N/m}. Em paralelo as constantes somam, logo
k_{\text{eq}}=4\cdot 200=800\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Calcular a frequência natural da máquina (para referência) e a frequência de excitação em rad/s.\n
  • Frequência natural angular
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{m}}=\sqrt{\frac{800}{100}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}8284\\ \mathrm{rad/s}.\n
  • Frequência de excitação (angular)
\omega=2\pi f=2\pi(0{,}8)=1{,}6\pi\approx 5{,}0265\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a razão de amortecimento adimensional (coeficiente de amortecimento relativo) apenas para entendimento (não é obrigatório para a fórmula final, mas ajuda a interpretar o resultado).\n
\zeta=\frac{c}{2 m \omega_{n}}=\frac{420}{2\cdot 100\cdot 2{,}8284}\approx 0{,}742.
Isso indica amortecimento relativamente grande (próximo de 0{,}74).

Passo 6

Preparar os termos que entram na fórmula da amplitude transmitida: k_{\text{eq}}-m\omega^{2} e c\omega.\n
  • Calcular m\omega^{2}:
m\omega^{2}=100\cdot(5{,}0265)^{2}\approx 100\cdot 25{,}266 \approx 2526{,}65\\ \mathrm{N/m}.\n
  • Então
k_{\text{eq}}-m\omega^{2}=800-2526{,}65\approx -1726{,}65\\ \mathrm{N/m}.\n
  • Calcular c\omega:
c\omega=420\cdot 5{,}0265\approx 2111{,}15\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Calcular o módulo do denominador \bigl|k_{\text{eq}}-m\omega^{2}+j c\omega\bigr|.\n
\bigl|k_{\text{eq}}-m\omega^{2}+j c\omega\bigr|=\sqrt{(k_{\text{eq}}-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}.\n
Substituindo os números:
\sqrt{(-1726{,}65)^{2}+(2111{,}15)^{2}} \approx\sqrt{2\,981\,3\!41 + 4\,456\,8\!70}\approx 2727{,}15\\ \mathrm{N/m}.
(Arredondei as parcelas intermedias para manter clareza; o resultado é \approx 2727{,}15.)

Passo 8

Calcular o módulo do numerador \bigl|k_{\text{eq}}+j c\omega\bigr|.\n
\bigl|k_{\text{eq}}+j c\omega\bigr|=\sqrt{k_{\text{eq}}^{2}+(c\omega)^{2}}=\sqrt{800^{2}+(2111{,}15)^{2}}.\n
Substituindo:
\sqrt{640000+4\,456\,870}\approx\sqrt{5\,096\,870}\approx 2257{,}64\\ \mathrm{N/m}.

Passo 9

Calcular a transmissibilidade da força (razão entre amplitude transmitida e amplitude da força aplicada) e então a amplitude transmitida.\n
  • Transmissibilidade:
T_{F}=\frac{\bigl|k_{\text{eq}}+j c\omega\bigr|}{\bigl|k_{\text{eq}}-m\omega^{2}+j c\omega\bigr|} \approx\frac{2257{,}64}{2727{,}15}\approx 0{,}8284.\n
  • Amplitude da força transmitida:
F_{t,\mathrm{amp}}=P_{m}\,T_{F}=100\cdot 0{,}8284\approx 82{,}84\\ \mathrm{N}.

Passo 10

Interpretação curta e incentivo: com os dados dados (quatro molas em paralelo totalizando k_{\text{eq}}=800\\ \mathrm{N/m} e amortecimento relativamente alto c=420\\ \mathrm{N\cdot s/m}), a maior parte da força aplicada não é completamente transmitida ao solo — cerca de 82{,}8\\ \mathrm{N} é a amplitude transmitida. Bom trabalho! Você consegue aplicar esse mesmo procedimento em outros problemas: calcular \omega,\\ \omega_{n},\\ k_{\text{eq}},\\ c\omega, montar os módulos e obter a razão.

Resposta

82{,}8\\ \mathrm{N}

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