Um elemento de máquina de 100 kg suportado por quatro molas, cada uma de constante k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, está sujeito a uma força periódica de frequência de 0,8 \mathrm{~Hz} e amplitude de 100 N . Determine a amplitude da força oscilante transmitida à fundação se um amortecedor com um coeficiente de amortecimento c=420 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m} está ligado à máquina e ao chão
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:\n
Massa da máquina: m=100\\ \mathrm{kg}.\n
Quatro molas idênticas, cada uma com constante k=200\\ \mathrm{N/m}. (Observação: isso implica que as molas estão em paralelo, então há uma rigidez equivalente; vou usar isso mais adiante.)\n
Amortecedor ligado entre a máquina e o chão com coeficiente c=420\\ \mathrm{N\cdot s/m}.\n
Força periódica aplicada à massa com amplitude P_{m}=100\\ \mathrm{N} e frequência f=0{,}8\\ \mathrm{Hz}.\n
Figura: mostra força aplicada ao corpo apoiado por molas e um amortecedor.\n
O que se pede: determinar a amplitude da força oscilante que é transmitida à fundação (ou seja, a amplitude da força que as molas + amortecedor aplicam ao chão).
Passo 2
Escolha do método e ideias físicas (explicação didática, sem pular etapas).\n
Em regime estacionário (resposta harmônica à excitação P(t)=P_{m}\sin\omega t), a massa oscila com deslocamento harmônico x(t) de mesma frequência \omega. Escrevemos \omega=2\pi f.\n
Forças transmitidas à fundação são as forças internas nos elementos que ligam massa ao chão: F_{t}(t)=k_{\text{eq}}\,x(t)+c\,\dot{x}(t), onde k_{\text{eq}} é a rigidez total das molas e c é o amortecimento.\n
Em representação fasorial (complexa), para excitação harmônica de amplitude P_{m} e frequência \omega a amplitude complexa do deslocamento é
Essa expressão é intuitiva: o numerador representa a “impedância” do caminho até o solo (molas + amortecedor) e o denominador a impedância dinâmica total vista pela massa.\n
Vou usar essa fórmula diretamente, mostrando passo a passo como calcular cada termo e os números.
Passo 3
Calcular a rigidez equivalente das quatro molas colocadas em paralelo.\n
Cada mola tem k=200\\ \mathrm{N/m}. Em paralelo as constantes somam, logo
k_{\text{eq}}=4\cdot 200=800\\ \mathrm{N/m}.
Passo 4
Calcular a frequência natural da máquina (para referência) e a frequência de excitação em rad/s.\n
Calcular a razão de amortecimento adimensional (coeficiente de amortecimento relativo) apenas para entendimento (não é obrigatório para a fórmula final, mas ajuda a interpretar o resultado).\n
\zeta=\frac{c}{2 m \omega_{n}}=\frac{420}{2\cdot 100\cdot 2{,}8284}\approx 0{,}742.
Isso indica amortecimento relativamente grande (próximo de 0{,}74).
Passo 6
Preparar os termos que entram na fórmula da amplitude transmitida: k_{\text{eq}}-m\omega^{2} e c\omega.\n
Interpretação curta e incentivo: com os dados dados (quatro molas em paralelo totalizando k_{\text{eq}}=800\\ \mathrm{N/m} e amortecimento relativamente alto c=420\\ \mathrm{N\cdot s/m}), a maior parte da força aplicada não é completamente transmitida ao solo — cerca de 82{,}8\\ \mathrm{N} é a amplitude transmitida. Bom trabalho! Você consegue aplicar esse mesmo procedimento em outros problemas: calcular \omega,\\ \omega_{n},\\ k_{\text{eq}},\\ c\omega, montar os módulos e obter a razão.