Um elemento de tensão diferencial possui um conjunto de tensões aplicadas sigmax=-500 kPa, sigmay=750 kPa, sigmaz=250 kPa, tauxy=100 kPa, tauyz=250 kPa e tauzx=1000 kPa, encontre as tensões principais e desenhe o diagrama do círculo de Mohr para estado de tensão tridimensional.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um elemento de tensão com
sigmax = -500kPa, sigmay = 750kPa, sigmaz = 250kPa, tauxy = 100kPa, tauyz = 250kPa, tauzx = 1000kPa
Queremos encontrar as tensões principais (ou seja, os autovalores da matriz de tensões) e desenhar o diagrama de Mohr 3D. O conteúdo aqui envolve:
  1. Montar a matriz de tensões e entender que as tensões principais vêm da equação característica det .
  2. Calcular as invariantes .
  3. Resolver a equação cúbica para achar .
  4. Montar os círculos de Mohr em 3D.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria rápida de tensões principais:
– A matriz de tensões é
boldsymbolsigma = sigmax & tauxy & tauzx tauxy & sigmay & tauyz tauzx & tauyz & sigmaz
– As tensões principais det(boldsymbolsigma - lambda I) ;=; lambda^3 - I1,lambda^2 + I2,lambda - I3 ;=; 0, satisfazem a equação
I1 = sigmax + sigmay + sigmaz,
onde
I2 = sigmaxsigmay + sigmaysigmaz + sigmazsigmax - (tauxy^2 + tauyz^2 + tauzx^2),
I3 = det(boldsymbolsigma) = sigmaxsigmaysigmaz + 2,tauxy,tauyz,tauzx - sigmax,tauyz^2 - sigmay,tauzx^2 - sigmaz,tauxy^2
Depois de achar , a gente monta a cúbica e resolve para .

Passo 3

Vamos calcular as invariantes com os valores dados:
  1. sigmaxsigmay + sigmaysigmaz + sigmazsigmax = (-500)(750) + (750)(250) + (250)(-500) = -375000 + 187500 -125000 = -312500,
tauxy^2 + tauyz^2 + tauzx^2 = 100^2 + 250^2 + 1000^2 = 10000 + 62500 +10^6 = 1072500
e
I2 = -312500 - 1072500 = -1385000kPa^2
Logo
sigmaxsigmaysigmaz &= (-500)cdot750cdot250 = -93750000, 2,tauxytauyztauzx &= 2cdot100cdot250cdot1000 = 50000000, sigmax,tauyz^2 &= -500cdot250^2 = -31250000, sigmay,tauzx^2 &= 750cdot1000^2 = 750000000, sigmaz,tauxy^2 &= 250cdot100^2 = 2500000
I3 = -93750000 + 50000000 -(-31250000) - 750000000 - 2500000 = -765000000kPa^3
Então

Passo 4

A equação característica fica
lambda^3 - 500,lambda^2 - 1385000,lambda + 765000000 = 0
Resolver isso direto é chato, mas a gente usa um truque:
  • Sabendo .
  • Sabendo .
  • Sabendo .
Podemos buscar uma raiz aproximada (por tentativa) e depois fatorar, ou usar fórmula de Cardano. Aqui vamos direto pras soluções aproximadas:

Passo 5

Usando métodos numéricos (ou tentativa e erro cuidadosa), achamos:
lambda1 approx 1129kPa, lambda2 approx 567kPa, lambda3 approx -1196kPa
Esses são os valores das tensões principais, com .

Passo 6

Pra desenhar o círculo de Mohr 3D, lembramos que existem três círculos nos eixos :
  • Círculo entre e :
    centro ,
    raio .
  • Círculo entre e :
    centro ,
    raio .
  • Círculo entre e :
    centro ,
    raio .
No gráfico, você marca esses três círculos usando os centros e raios acima, todos no mesmo plano .

Resposta

Tensões principais (autovalores):
sigma1 approx 1129kPa, sigma2 approx 567kPa, sigma3 approx -1196kPa
Diagrama de Mohr 3D: três círculos com centros e raios
(c12=848,,r12=281),; (c23=-314.5,,r23=881.5),; (c31=-33.5,,r31=1162.5)
Prontinho, agora é só desenhar!

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