Um elemento de tensão diferencial possui um conjunto de tensões aplicadas sigmax=750 MPa, sigmay=500 MPa, sigmaz=250 MPa, tauxy=500 MPa, tauyz=0 MPa e tauzx=0 MPa, encontre as tensões principais e desenhe o diagrama do círculo de Mohr para estado de tensão tridimensional.

Passo 1

Beleza, temos um problema de “Resistência dos Materiais” que pede pra encontrar as tensões principais de um estado triaxial e desenhar o círculo de Mohr 3D. O enunciado diz que na peça atuam:
  • σₓ = 750 MPa
  • σᵧ = 500 MPa
  • σ_z = 250 MPa
  • τₓᵧ = 500 MPa
  • τᵧ_z = 0
  • τ_zₓ = 0
O que vamos usar:
  1. Montar a matriz de tensões.
  2. Calcular os autovalores (tensões principais) dessa matriz.
  3. Aplicar a ideia de círculo de Mohr 3D: três círculos entre cada par de tensões principais.

Passo 2

Primeiro, monta a matriz de tensões no sistema cartesiano:
[
[\sigma] ;=;
[sigma] ;=; sigmax & tauxy & tauzx tauxy & sigmay & tauyz tauzx & tauyz & sigmaz = 750 & 500 & 0 500 & 500 & 0 0 & 0 & 250 ,MPa

,MPa
]
Como τᵧ_z e τ_zₓ são zero, o problema “se separa” em um bloco 2×2 (plano xy) e um valor isolado (σ₃ = σ_z).

Passo 3

Para achar as tensões principais no plano xy, usamos a fórmula de autovalores de uma matriz 2×2:
sigmam = sigmax + sigmay2, R = raizl(sigmax - sigmay2r)^2 + tauxy^2
Aí as duas tensões principais desse plano são
sigma1,2 = sigmam pm R

Passo 4

Calcula σₘ e R:
sigmam = 750 + 5002 = 625 MPa, R = raizl(750 - 5002r)^2 + 500^2 = raiz125^2 + 500^2 = raiz15625 + 250000 = raiz265625 approx 515,36 MPa
Então
sigma1 = 625 + 515,36 = 1140,36 MPa, sigma2 = 625 - 515,36 = 109,64 MPa

Passo 5

A terceira tensão principal sai direto:
sigma3 = sigmaz = 250 MPa

Passo 6

Ordenando de maior para menor fica:
sigma1 = 1140,36 MPa, sigma2 = 250,00 MPa, sigma3 = 109,64 MPa

Passo 7

Pra desenhar o círculo de Mohr 3D, a gente monta três círculos usando cada par (σᵢ,σⱼ):
  1. Entre σ₁ e σ₂:
    • Centro MPa
    • Raio MPa
  2. Entre σ₁ e σ₃:
    • Centro MPa
    • Raio MPa
  3. Entre σ₂ e σ₃:
    • Centro MPa
    • Raio MPa
Cada círculo fica traçado num plano σ–τ, mostrando as combinações possíveis de tensão normal x cisalhamento em planos inclinados.

Resposta

Tensões principais:
sigma1 = 1140,36 MPa, sigma2 = 250,00 MPa, sigma3 = 109,64 MPa
Diagrama de Mohr 3D: três círculos com centros e raios calculados em #Passo 7.

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