Um elemento de tensão diferencial possui um conjunto de tensões aplicadas
,
e
, encontre as tensões principais e desenhe o diagrama do círculo de Mohr para estado de tensão tridimensional.
Passo 1
Beleza, temos um problema de “Resistência dos Materiais” que pede pra encontrar as tensões principais de um estado triaxial e desenhar o círculo de Mohr 3D. O enunciado diz que na peça atuam:
- σₓ = 750 MPa
- σᵧ = 500 MPa
- σ_z = 250 MPa
- τₓᵧ = 500 MPa
- τᵧ_z = 0
- τ_zₓ = 0
O que vamos usar:
- Montar a matriz de tensões.
- Calcular os autovalores (tensões principais) dessa matriz.
- Aplicar a ideia de círculo de Mohr 3D: três círculos entre cada par de tensões principais.
Passo 2
Primeiro, monta a matriz de tensões no sistema cartesiano:
[
[\sigma] ;=;
]
Como τᵧ_z e τ_zₓ são zero, o problema “se separa” em um bloco 2×2 (plano xy) e um valor isolado (σ₃ = σ_z).
Passo 3
Para achar as tensões principais no plano xy, usamos a fórmula de autovalores de uma matriz 2×2:
Aí as duas tensões principais desse plano são
Passo 4
Calcula σₘ e R:
Então
Passo 5
A terceira tensão principal sai direto:
Passo 6
Ordenando de maior para menor fica:
Passo 7
Pra desenhar o círculo de Mohr 3D, a gente monta três círculos usando cada par (σᵢ,σⱼ):
- Entre σ₁ e σ₂:
- Centro
MPa - Raio
MPa
- Centro
- Entre σ₁ e σ₃:
- Centro
MPa - Raio
MPa
- Centro
- Entre σ₂ e σ₃:
- Centro
MPa - Raio
MPa
- Centro
Cada círculo fica traçado num plano σ–τ, mostrando as combinações possíveis de tensão normal x cisalhamento em planos inclinados.
Resposta
Tensões principais:
Diagrama de Mohr 3D: três círculos com centros e raios calculados em #Passo 7.