Quais os elementos considerados no cálculo do teste de Bera-Jarque de um conjunto de dados? Qual a relação (direta ou inversa) de cada um destes componentes com o resultado do teste?

Passo 1

O enunciado pergunta quais são os elementos que entram no cálculo do teste de Bera–Jarque (JB) para avaliar se um conjunto de dados segue distribuição normal, e como cada um desses elementos se relaciona (direta ou inversa) com o valor do teste. Para isso vamos precisar dos seguintes ingredientes:
  1. O tamanho da amostra, n.
  2. A medida de assimetria (skewness), que usa o 3.º momento centrado.
  3. A medida de curtose (kurtosis), que usa o 4.º momento centrado.

Passo 2

Definimos primeiro a assimetria amostral \hat S e a curtose amostral \hat K. Chamando \bar x a média amostral e
s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2
a variância amostral, temos
\hat S = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^3} {\bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2\bigr)^{3/2}} \quad\text{e}\quad \hat K = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^4} {\bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2\bigr)^{2}}.

Passo 3

O teste de Bera–Jarque combina essas duas medidas num único estatístico:
JB = \frac{n}{6}\Bigl(\hat S^{2} \;+\;\frac{(\hat K - 3)^{2}}{4}\Bigr).
Aqui, o valor “3” corresponde à curtose da normal (excesso de curtose zero).

Passo 4

Analisando cada componente:
  • n: aparece em fator multiplicativo. Quanto maior n, maior JB para a mesma assimetria e curtose — relação direta.
  • \hat S^{2}: é a assimetria ao quadrado. Se o conjunto de dados tiver assimetria maior em valor absoluto, o termo cresce e aumenta JB — relação direta.
  • (\hat K - 3)^{2}: mede o quanto a curtose difere da normal. Quanto mais afastada de 3, maior esse termo e maior JB — relação direta.

Resposta

Elementos:
  1. Tamanho da amostra n (maior n ⇒ maior JB).
  2. Assimetria amostral \hat S (maior |\hat S| ⇒ maior JB).
  3. Curtose amostral \hat K (maior distância de 3\Rightarrow maior JB).
    Em todos os casos a relação com o valor do teste é direta: aumentar qualquer um desses componentes aumenta o valor do estatístico JB.

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