Quais elementos de (S4, o) são seus próprios inversos?

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a questão de descobrir quais elementos do grupo (S4) são seus próprios inversos. Isso tá ligado ao estudo de grupos na matemática, especificamente sobre permutações. Pra resolver, vamos precisar entender o que são inversos em grupos e como identificar esses elementos no conjunto das permutações de 4 elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (S4) é o grupo de todas as permutações possíveis de 4 elementos. Cada elemento de (S4) pode ser pensado como uma reordenação desses 4 elementos.

Passo 3

Um elemento ser seu próprio inverso significa que, se você aplicar a permutação duas vezes, você volta para a posição inicial. Matematicamente, isso quer dizer que o elemento tem ordem 1 ou 2.

Passo 4

No contexto de permutações, a identidade (que não muda nada) tem ordem 1. Então, a identidade é definitivamente um elemento que é seu próprio inverso.

Passo 5

Agora, vamos pensar nas transposições, que são permutações que trocam dois elementos e deixam os outros dois iguais. Por exemplo, (1,2) troca o 1 com o 2. Se você aplicar essa transposição duas vezes, volta tudo como estava, então as transposições têm ordem 2 e são seus próprios inversos.

Passo 6

Além das transposições simples, temos as permutações que são produto de duas transposições disjuntas, como (1,2)(3,4). Essas também, quando aplicadas duas vezes, retornam à identidade. Então, elas também têm ordem 2 e são seus próprios inversos.

Resposta

Os elementos de (S4) que são seus próprios inversos são:
  • A identidade;
  • As transposições simples, como (1,2);
  • As permutações que são produto de duas transposições disjuntas, como (1,2)(3,4).

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