Seja
a base de
constituída pelos vectores
Calcule as componentes do vector
nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente tem que entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma base
do espaço tridimensional
, onde cada vetor da base é dado por:
E a gente quer descobrir quais são os componentes do vetor
nessa base. Pra isso, a gente vai precisar usar a ideia de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. A ideia é que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma soma de múltiplos dos vetores da base. Então, queremos encontrar números
,
e
tais que:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa combinação:
Isso nos dá três equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começando pela terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
Agora, com
e
conhecidos, substituímos esses valores na primeira equação:
Resposta
Então, as componentes do vetor
na base
são: