Demonstre:
Sendo
, então
é um invariante lorentziano.
Sendo
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o operador contraiido da derivada de quatro-dimensões,
é invariante sob transformações de Lorentz.
Isto envolve saber que uma transformação de Lorentz linear preserva a métrica de Minkowski
e que a derivada parcial em coordenadas transformadas satisfaz uma lei de transformação de quatro-vetor.
Isto envolve saber que uma transformação de Lorentz linear
Passo 2
Mostramos primeiro como a derivada parcial se transforma. Por definição,
Usando regra da cadeia:
pois
.
Passo 3
Para subir índice usamos a métrica invariante
:
onde usamos a propriedade
.
Passo 4
Agora contraímos
:
Mas pela ortogonalidade da transformação de Lorentz temos
logo
Resposta
Portanto,
é invariante sob transformações de Lorentz.