Demonstre:
Sendo \partial_{\mu} \equiv \frac{\partial}{\partial_{\mu}}, então \partial_{\nu} \partial_{\nu} é um invariante lorentziano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o operador contraiido da derivada de quatro-dimensões,
\partial_{\nu}\partial^{\nu}\,,
é invariante sob transformações de Lorentz.
Isto envolve saber que uma transformação de Lorentz linear x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu} preserva a métrica de Minkowski \eta_{\mu\nu} e que a derivada parcial em coordenadas transformadas satisfaz uma lei de transformação de quatro-vetor.

Passo 2

Mostramos primeiro como a derivada parcial se transforma. Por definição,
\partial'_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x'^{\mu}}\,.
Usando regra da cadeia:
\partial'_{\mu} =\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} =\Lambda^{\nu}{}_{\mu}\,\partial_{\nu}\,,
pois \partial x^{\nu}/\partial x'^{\mu}=\Lambda^{\nu}{}_{\mu}.

Passo 3

Para subir índice usamos a métrica invariante \eta^{\mu\sigma}:
\partial'^{\mu} =\eta^{\mu\sigma}\,\partial'_{\sigma} =\eta^{\mu\sigma}\,\Lambda^{\rho}{}_{\sigma}\,\partial_{\rho} =\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\,\partial^{\rho}\,,
onde usamos a propriedade \eta^{\mu\sigma}\Lambda^{\rho}{}_{\sigma}=\Lambda^{\mu}{}_{\lambda}\eta^{\lambda\rho}.

Passo 4

Agora contraímos \partial'_{\mu}\partial'^{\mu}:
\partial'_{\mu}\partial'^{\mu} =(\Lambda^{\rho}{}_{\mu}\partial_{\rho}) (\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\partial^{\sigma}) =\Lambda^{\rho}{}_{\mu}\,\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\, \partial_{\rho}\partial^{\sigma}.
Mas pela ortogonalidade da transformação de Lorentz temos
\Lambda^{\rho}{}_{\mu}\,\Lambda^{\mu}{}_{\sigma} =\delta^{\rho}_{\sigma},
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\partial'_{\mu}\partial'^{\mu} =\delta^{\rho}_{\sigma}\,\partial_{\rho}\partial^{\sigma} =\partial_{\rho}\partial^{\rho}.

Resposta

Portanto, \partial_{\nu}\partial^{\nu} é invariante sob transformações de Lorentz.

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