Estude o limite não-relativista da equação de Dirac para o elétron em um campo eletromagnético e mostre que a mesma se reduz à equação de Pauli-Darwin.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao tomar o limite não-relativista ( v\ll c) da equação de Dirac para um elétron em campo eletromagnético, obtemos a equação de Pauli-Darwin. O conteúdo principal é a separação em componentes “grande” e “pequena” da bispinor \psi, seguida de uma expansão em potências de 1/(m c^2) (ou equivalently via transformação de Foldy–Wouthuysen) até ordem 1/(m^2c^2). Vamos precisar usar as matrizes de Dirac \alpha^i,\beta, a definição do momento canônico \Pi=\mathbf p-\frac{e}{c}\mathbf A e a identidade de Pauli \sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k.

Passo 2

Escrevemos a equação de Dirac no potencial escalar \varphi(\mathbf r) e vetor \mathbf A(\mathbf r):
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\Bigl(c\,\boldsymbol\alpha\cdot\Pi +\beta\,m c^2+e\,\varphi\Bigr)\psi,
com
\Pi=\mathbf p-\frac{e}{c}\mathbf A,\qquad \boldsymbol\alpha=\begin{pmatrix}0&\boldsymbol\sigma\\boldsymbol\sigma&0\end{pmatrix},\quad \beta=\begin{pmatrix}I&0\\\ 0&-I\end{pmatrix}.

Passo 3

Decompondo \psi em componentes de duas-spinor grandes \chi e pequenas \eta:
\psi=\begin{pmatrix}\chi\\eta\end{pmatrix},
a equação de Dirac gera o sistema acoplado
\begin{cases} i\hbar\,\partial_t\chi = m c^2\,\chi + e\varphi\,\chi + c\,\boldsymbol\sigma\cdot\Pi\,\eta,\\\ i\hbar\,\partial_t\eta =-m c^2\,\eta + e\varphi\,\eta + c\,\boldsymbol\sigma\cdot\Pi\,\chi. \end{cases}

Passo 4

No limite não-relativista assumimos que a energia total é E\approx m c^2+\varepsilon com \varepsilon\ll m c^2, de modo que i\hbar\partial_t\eta\sim\varepsilon\,\eta é pequeno comparado a m c^2\eta. Assim, a segunda equação dá, a primeiro ordem em 1/(m c),
\eta\approx \frac{1}{2m c}\,\boldsymbol\sigma\cdot\Pi\,\chi -\frac{1}{4m^2c^3}\,\boldsymbol\sigma\cdot\Pi\,(e\varphi - i\hbar\partial_t)\,\chi +\cdots.
Essa expressão é inserida na primeira equação, mantendo termos até O(1/m^2c^2).

Passo 5

Ao substituir e usar
\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k, \mathbf E=-\nabla\varphi e \mathbf B=\nabla\times\mathbf A, obtemos um hamiltoniano efetivo para \chi (que renomeamos como \varphi) do tipo
i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t} =\Bigl[e\varphi +\frac{\Pi^2}{2m} -\frac{\Pi^4}{8m^3c^2} -\frac{e\hbar}{2m c}\,\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf B +\frac{e\hbar^2}{8m^2c^2}\,\nabla\!\cdot\!\mathbf E \Bigr]\varphi.
O termo \displaystyle -\frac{e\hbar}{2m c}\boldsymbol\sigma\!\cdot\!\mathbf B é o acoplamento de Pauli, e \displaystyle \frac{e\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla\!\cdot\!\mathbf E é o termo de Darwin.

Resposta

i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t} =\left[ e\varphi +\frac{\bigl(\mathbf p-\tfrac{e}{c}\mathbf A\bigr)^2}{2m} -\frac{\bigl(\mathbf p-\tfrac{e}{c}\mathbf A\bigr)^4}{8m^3c^2} -\frac{e\hbar}{2m c}\,\boldsymbol\sigma\!\cdot\!\mathbf B +\frac{e\hbar^2}{8m^2c^2}\,\nabla\!\cdot\!\mathbf E \right]\varphi,
que é justamente a equação de Pauli–Darwin para o spin 1/2.

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