Estude o limite não-relativista da equação de Dirac para o elétron em um campo eletromagnético e mostre que a mesma se reduz à equação de Pauli-Darwin.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao tomar o limite não-relativista (
) da equação de Dirac para um elétron em campo eletromagnético, obtemos a equação de Pauli-Darwin. O conteúdo principal é a separação em componentes “grande” e “pequena” da bispinor
, seguida de uma expansão em potências de
(ou equivalently via transformação de Foldy–Wouthuysen) até ordem
. Vamos precisar usar as matrizes de Dirac
, a definição do momento canônico
e a identidade de Pauli
.
Passo 2
Escrevemos a equação de Dirac no potencial escalar
e vetor
:
com
Passo 3
Decompondo
em componentes de duas-spinor grandes
e pequenas
:
a equação de Dirac gera o sistema acoplado
Passo 4
No limite não-relativista assumimos que a energia total é
com
, de modo que
é pequeno comparado a
. Assim, a segunda equação dá, a primeiro ordem em
,
Essa expressão é inserida na primeira equação, mantendo termos até
.
Passo 5
Ao substituir e usar
,
e
, obtemos um hamiltoniano efetivo para
(que renomeamos como
) do tipo
O termo
é o acoplamento de Pauli, e
é o termo de Darwin.
Resposta
que é justamente a equação de Pauli–Darwin para o spin
.