6.15 Um motor de indução de 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, quatro polos e ligado em Y tem potência nominal de 25 HP . Os parâmetros do seu circuito equivalente são
R_{1}=0,15 \Omega
R_{2}=0,154 \Omega
X_{M}=20 \Omega
X_{1}=0,852 \Omega
X_{2}=1,066 \Omega
P_{\mathrm{AeV}}=400 \mathrm{~W}
P_{\text {diversas }}=150 \mathrm{~W}
P_{\text {núcleo }}=400 \mathrm{~W}ú
Para um escorregamento de 0,02 , encontre
(a) A corrente de linha I_{L}
(b) O fator de potência do estator
(c) O fator de potência do rotor
(d) A frequência do rotor
(e) As perdas no cobre do estator P_{\text {PCE }}
(f) A potência de entreferro P_{\mathrm{EF}}
(g) A potência convertida da forma mecânica em elétrica P_{\text {conv }}
(h) O conjugado induzido \tau_{\text {ind }}
(i) O conjugado de carga \tau_{\text {carga }}
(j) A eficiência total da máquina \eta
(k) A velocidade do motor em rotações por minuto e em radianos por segundo
(l) Qual é a letra de código para a partida desse motor?

Passo 1

O enunciado dá um motor de indução trifásico em ligação Y, 460\)\,V linha, \(60\)\,Hz, 4 polos, com escorregamento \(s=0{,}02\). Precisamos usar o circuito equivalente por fase, que é: \(\displaystyle V_1\to R_1 + jX_1\to\text{nó A}\to\begin{cases}jX_M\R_2/s + jX_2\end{cases}
A partir daí a gente calcula correntes, quedas de tensão, potências em cada ramo, torques e eficiência.

Passo 2

Convertendo para circuito por fase, a tensão de fase é
V_1 = \frac{460}{\sqrt{3}}\approx 265{,}6\text{ V}.

Passo 3

Definimos as impedâncias por fase:
Z_1 = R_1 + jX_1 = 0{,}15 + j0{,}852, \quad Z_M = jX_M = j20, \quad Z_{2/s} = \frac{R_2}{s} + jX_2 = \frac{0{,}154}{0{,}02} + j1{,}066 = 7{,}7 + j1{,}066.
O paralelo no nó A vale
Z_P = \bigl(Z_M\parallel Z_{2/s}\bigr) = \frac{Z_M\,Z_{2/s}}{Z_M + Z_{2/s}} \approx 6{,}13 + j3{,}25\quad(\lvert Z_P\rvert=6{,}94\angle 27{,}4^\circ).
A impedância total por fase é
Z_{\rm eq} = Z_1 + Z_P = 6{,}28 + j4{,}102 \quad(\lvert Z_{\rm eq}\rvert\approx7{,}50\angle33{,}1^\circ).
Logo a corrente de fase (igual à de linha em Y) é
I_1 = \frac{V_1}{Z_{\rm eq}} \approx \frac{265{,}6}{7{,}50}\angle(-33{,}1^\circ) =35{,}4\angle(-33{,}1^\circ)\text{ A}.
A tensão no nó A vale
V_A = I_1\,Z_P\approx35{,}4\angle(-33{,}1^\circ)\times6{,}94\angle27{,}4^\circ =245{,}9\angle(-5{,}7^\circ)\text{ V},
e a corrente do rotor é
I_2 = \frac{V_A}{Z_{2/s}} \approx \frac{245{,}9\angle(-5{,}7^\circ)}{7{,}773\angle7{,}88^\circ} =31{,}6\angle(-13{,}6^\circ)\text{ A}.

Passo 4

(a) A corrente de linha é
I_L = \lvert I_1\rvert \approx 35{,}4\text{ A}.

Passo 5

(b) O fator de potência do estator é
\cos\varphi_1 = \cos\bigl(33{,}1^\circ\bigr)\approx 0{,}836.

Passo 6

(c) O fator de potência do rotor é o cosseno do ângulo de Z_{2/s}, isto é
\cos\varphi_2 =\frac{R_2/s}{\lvert Z_{2/s}\rvert} =\frac{7{,}7}{7{,}773}\approx0{,}991.

Passo 7

(d) A frequência vista pelo rotor é
f_2 = s\,f =0{,}02\times60 = 1{,}2\text{ Hz}.

Passo 8

(e) As perdas no cobre do estator valem
P_{\rm Cu1} = 3\,I_1^2\,R_1 =3\times(35{,}4)^2\times0{,}15 \approx564{,}5\text{ W}.

Passo 9

(f) A potência que atravessa o entreferro (potência no resistor R_2/s) é
P_{EF} = 3\,I_2^2\,\frac{R_2}{s} =3\times(31{,}6)^2\times7{,}7 \approx23\,100\text{ W}.

Passo 10

(g) A potência convertida em mecânica no rotor é
P_{\rm conv} = P_{EF}\,(1-s) =23\,100\times0{,}98 \approx22\,638\text{ W}.

Passo 11

(h) O conjugado eletromagnético induzido é
\tau_{\rm ind} = \frac{P_{\rm conv}}{\omega_{\rm syn}} \quad\text{com}\quad \omega_{\rm syn}=2\pi\frac{1800}{60}=188{,}5\;\text{rad/s},
logo
\tau_{\rm ind} = \frac{22\,638}{188{,}5} \approx120{,}1\;\text{N\cdotm}.

Passo 12

(i) A potência no eixo, subtraindo atrito/ventilação e perdas diversas, é
P_{\rm eixo} = P_{\rm conv} - P_{AeV} - P_{\rm diversas} =22\,638 - 400 -150 =22\,088\text{ W}.
A velocidade mecânica é \omega_m=(1-s)\,\omega_{\rm syn}=0{,}98\times188{,}5=184{,}8\;\text{rad/s}, então
\tau_{\rm carga} = \frac{P_{\rm eixo}}{\omega_m} = \frac{22\,088}{184{,}8} \approx119{,}6\;\text{N\cdotm}.

Passo 13

(j) A potência de entrada é
P_{\rm in} = 3\,V_1\,I_1\cos\varphi_1 \approx3\times265{,}6\times35{,}4\times0{,}836 \approx23\,580\text{ W},
portanto a eficiência total é
\eta = \frac{P_{\rm eixo}}{P_{\rm in}} = \frac{22\,088}{23\,580} \approx0{,}937\;(93{,}7\%).

Passo 14

(k) A velocidade do motor é
n = (1-s)\,\frac{120\,f}{\text{polos}} =0{,}98\times\frac{120\times60}{4} =1764\;\text{rpm},
\omega_m = \frac{2\pi\,n}{60} \approx184{,}8\;\text{rad/s}.

Passo 15

(l) Para achar a letra de partida NEMA, calculemos a corrente de bloqueio s=1:
Z_{2/1}=R_2 + jX_2=0{,}154 + j1{,}066, \quad Z_P' = Z_M\parallel Z_{2/1}\approx0{,}137 + j1{,}015,
Z_{\rm eq}'=Z_1 + Z_P'\approx0{,}287 + j1{,}867,\quad |Z_{\rm eq}'|\approx1{,}89\;\Omega,
I_{\rm LR}=\frac{V_1}{|Z_{\rm eq}'|} \approx\frac{265{,}6}{1{,}89} \approx140{,}7\text{ A}.
A razão I_{\rm LR}/I_{\rm FL}=140{,}7/35{,}4\approx3{,}97 corresponde à letra de código D.

Resposta

(a) I_L \approx 35{,}4,A
(b) \mathrm{PF}_1\approx0{,}836
(c) \mathrm{PF}_2\approx0{,}991
(d) f_2=1{,}2,Hz
(e) P_{\rm Cu1}\approx564{,}5,W
(f) P_{EF}\approx23{,}100,W
(g) P_{\rm conv}\approx22\,638,W
(h) \tau_{\rm ind}\approx120{,}1, N\cdot m
(i) \tau_{\rm carga}\approx119{,}6, N\cdot m
(j) \eta\approx93{,}7\%
(k) n\approx1764,rpm,; \omega_m\approx184{,}8,rad/s
(l) letra de partida: D

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