Plote a forma de onda de uma tensio senoidal retificada de meia-onda com um valor de pico de 20 V usando a Equação 25.10. Use os termos da componente continua, da fundamental e quatro harmónicos. Compare a forma de onda obtida com a forma de onda de um retificador de meia-onda ideal.

Passo 1

O enunciado pede para traçar a forma de onda de meia-onda de uma tensão senoidal de pico \,V_p=20\text{ V} usando a série de Fourier (Equação 25.10) mantendo a componente contínua, o termo fundamental e os quatro primeiros harmónicos. Em seguida, devemos comparar esse sinal aproximado com a forma de onda ideal de um retificador de meia-onda. O conteúdo envolvido é série de Fourier de sinais periódicos não senoidais.

Passo 2

A série de Fourier de uma meia-onda retificada de amplitude de pico V_p é dada por
v(\theta)\;=\;\frac{V_p}{\pi} \;+\;\frac{V_p}{2}\,\sin\theta \;-\;\frac{2\,V_p}{\pi}\sum_{\substack{n=2,4,6,8}} \frac{\cos(n\theta)}{n^2-1}
onde \theta=\omega t, o primeiro termo é a componente DC, o seguinte é o fundamental ( n=1), e os somatórios são os harmónicos pares n=2,4,6,8.
Substituindo V_p=20\text{ V}:
  • Componente DC:
\frac{V_p}{\pi}=\frac{20}{\pi}\approx6{,}366\text{ V}.
  • Fundamental:
\frac{V_p}{2}=10\text{ V}\quad\longrightarrow\quad 10\sin\theta.
  • Harmónico de ordem 2:
\frac{2V_p}{\pi}\frac{1}{2^2-1}=\frac{40/\pi}{3}\approx4{,}244\quad\longrightarrow\quad -4{,}244\,\cos(2\theta).
  • Harmónico de ordem 4:
\frac{40/\pi}{4^2-1}=\frac{40/\pi}{15}\approx0{,}849\quad\longrightarrow\quad -0{,}849\,\cos(4\theta).
  • Harmónico de ordem 6:
\frac{40/\pi}{6^2-1}=\frac{40/\pi}{35}\approx0{,}364\quad\longrightarrow\quad -0{,}364\,\cos(6\theta).
  • Harmónico de ordem 8:
\frac{40/\pi}{8^2-1}=\frac{40/\pi}{63}\approx0{,}202\quad\longrightarrow\quad -0{,}202\,\cos(8\theta).

Passo 3

A expressão aproximada usada para plotar é
v_{\text{approx}}(\theta) =6{,}366 + 10\sin\theta -4{,}244\cos(2\theta) -0{,}849\cos(4\theta) -0{,}364\cos(6\theta) -0{,}202\cos(8\theta).
A forma de onda ideal do retificador de meia-onda é
v_{\text{ideal}}(\theta)= \begin{cases} 20\sin\theta,&0\le\theta\le\pi,\\\\ 0,&\pi<\theta<2\pi, \end{cases}
e se repete com período 2\pi.
Para plotar, geramos \theta uniformemente de 0 a 2\pi, calculamos v_{\text{approx}}(\theta) pela série truncada e v_{\text{ideal}}(\theta) pela definição acima, e traçamos as duas curvas no mesmo gráfico. Tipicamente, usa-se alta resolução em \theta (por exemplo 1000 pontos) e uma legenda distinguindo “aproximação 4 harmónicos” e “ideal meia-onda”.

Passo 4

Na comparação, observa-se que a aproximação por série de Fourier casa bem com o ideal nos trechos suaves, mas exibe oscilações próximas aos pontos de descontinuidade ( \theta=0,\pi,2\pi) — fenômeno de Gibbs. Quanto mais harmónicos incluirmos, melhor a aproximação, mas sempre restará um transiente de Gibbs em torno das rupturas.

Resposta

Traçando em um mesmo gráfico v_{\text{approx}}(\theta) e v_{\text{ideal}}(\theta), vemos que a série de Fourier (com até o 8º harmónico) reproduz a forma geral do sinal retificado de meia-onda, porém apresenta ondulações localizadas nos pontos de mudança de valor (Gibbs), enquanto o retificador ideal salta abruptamente de 0 para 20\sin\theta sem essas ondulações.

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