- Um elétron está confinado no interior de uma região com
. (a) Estime a incerteza mínima no componente
do momento linear do elétron. (b) Se o elétron possui um momento linear cujo módulo é igual à incerteza calculada no item (a), qual é sua energia cinética? Expresse o resultado em joules e em elétron-volts. (
)
Passo 1
O enunciado diz que um elétron está confinado numa região com
. Pede-se:
(a) estimar a incerteza mínima no componente do momento linear do elétron (
);
(b) supondo que o módulo do momento do elétron é igual a essa incerteza, calcular a energia cinética e expressá‑la em joules e em elétron‑volts.
Informações úteis (valores constantes que usarei): e a massa do elétron
. A conversão de energia é
.
(a) estimar a incerteza mínima no componente
(b) supondo que o módulo do momento do elétron é igual a essa incerteza, calcular a energia cinética e expressá‑la em joules e em elétron‑volts.
Informações úteis (valores constantes que usarei):
Passo 2
Entendendo a relação de incerteza de Heisenberg (a ideia física por trás):
A relação de incerteza entre posição e momento na direção diz que não é possível conhecer simultaneamente
e
com precisão arbitrária. Uma forma prática desta relação é
A relação de incerteza entre posição e momento na direção
Aqui
é a incerteza (ou extensão) na posição na direção
e
é a incerteza no momento linear nessa mesma direção. Para estimativas de ordem de grandeza (como é pedido), é comum aproximar a incerteza mínima por
que dá um valor do mesmo ordem e facilita contas sem mudar a interpretação física — é uma estimativa conservadora para usarmos aqui.
Passo 3
Calcular a incerteza mínima
usando a aproximação escolhida. Substituindo
e
:
Fazendo a divisão:
Arredondando para dois algarismos significativos (e mantendo a notação do enunciado):
Comentário amigo: aqui eu usei a aproximação
em vez de
só para obter a estimativa padrão usada em muitos exercícios — o resultado tem a mesma ordem de grandeza; se você usasse o factor
o valor seria metade.
Passo 4
Agora vamos transformar essa incerteza de momento em uma energia cinética, assumindo que o módulo do momento do elétron é
. A energia cinética de uma partícula não relativística é
onde
é o módulo do momento e
é a massa da partícula. Aqui
e
.
Passo 5
Substituindo os números:
Calculemos o numerador e denominador separadamente (mostrando a conta para você replicar na prova):
Agora a divisão:
Arredondando conforme pedido:
Passo 6
Converter a energia em elétron‑volts. Usamos
. Assim
Arredondando: