1. Um elétron está confinado no interior de uma região com \Delta \mathrm{x}=1,0 \times 10^{-10} \mathrm{~m}. (a) Estime a incerteza mínima no componente x do momento linear do elétron. (b) Se o elétron possui um momento linear cujo módulo é igual à incerteza calculada no item (a), qual é sua energia cinética? Expresse o resultado em joules e em elétron-volts. ( 1,1 \times 10^{-24} \mathrm{~kg} . \mathrm{m} / \mathrm{s} ; 6,1 \times 10^{-19} \mathrm{~J} ; 3,8 \mathrm{eV} )

Passo 1

O enunciado diz que um elétron está confinado numa região com \Delta x = 1,0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Pede-se:
(a) estimar a incerteza mínima no componente x do momento linear do elétron ( \Delta p_x);
(b) supondo que o módulo do momento do elétron é igual a essa incerteza, calcular a energia cinética e expressá‑la em joules e em elétron‑volts.
Informações úteis (valores constantes que usarei): \hbar = 1,0545718\times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} e a massa do elétron \,m_e = 9,10938356\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}. A conversão de energia é 1\,\mathrm{eV} = 1,602176634\times 10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 2

Entendendo a relação de incerteza de Heisenberg (a ideia física por trás):
A relação de incerteza entre posição e momento na direção x diz que não é possível conhecer simultaneamente \Delta x e \Delta p_x com precisão arbitrária. Uma forma prática desta relação é
\Delta x\,\Delta p_x \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
Aqui \Delta x é a incerteza (ou extensão) na posição na direção x e \Delta p_x é a incerteza no momento linear nessa mesma direção. Para estimativas de ordem de grandeza (como é pedido), é comum aproximar a incerteza mínima por
\Delta p_x \approx \frac{\hbar}{\Delta x},
que dá um valor do mesmo ordem e facilita contas sem mudar a interpretação física — é uma estimativa conservadora para usarmos aqui.

Passo 3

Calcular a incerteza mínima \Delta p_x usando a aproximação escolhida. Substituindo \hbar e \Delta x:
\Delta p_x \approx \frac{\hbar}{\Delta x} = \frac{1,0545718\times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}}{1,0\times 10^{-10}\,\mathrm{m}}.
Fazendo a divisão:
\Delta p_x \approx 1,0545718\times 10^{-24}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando para dois algarismos significativos (e mantendo a notação do enunciado):
\Delta p_x \approx 1,1\times 10^{-24}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Comentário amigo: aqui eu usei a aproximação \Delta p_x\approx\hbar/\Delta x em vez de \hbar/(2\Delta x) só para obter a estimativa padrão usada em muitos exercícios — o resultado tem a mesma ordem de grandeza; se você usasse o factor 1/2 o valor seria metade.

Passo 4

Agora vamos transformar essa incerteza de momento em uma energia cinética, assumindo que o módulo do momento do elétron é p \approx \Delta p_x. A energia cinética de uma partícula não relativística é
K = \frac{p^{2}}{2m},
onde p é o módulo do momento e m é a massa da partícula. Aqui p=\Delta p_x e m=m_e.

Passo 5

Substituindo os números:
K \approx \frac{(\Delta p_x)^{2}}{2m_e} = \frac{\left(1,0545718\times 10^{-24}\right)^{2}}{2\left(9,10938356\times 10^{-31}\right)}\;\mathrm{J}.
Calculemos o numerador e denominador separadamente (mostrando a conta para você replicar na prova):
(\Delta p_x)^{2} = \left(1,0545718\times 10^{-24}\right)^{2} \approx 1,112121\times 10^{-48}\;\mathrm{(kg\cdot m/s)^{2}},
2m_e = 2\times 9,10938356\times 10^{-31} \approx 1,8218767\times 10^{-30}\;\mathrm{kg}.
Agora a divisão:
K \approx \frac{1,112121\times 10^{-48}}{1,8218767\times 10^{-30}} \approx 6,103\times 10^{-19}\,\mathrm{J}.
Arredondando conforme pedido:
K \approx 6,1\times 10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 6

Converter a energia em elétron‑volts. Usamos 1\,\mathrm{eV} = 1,602176634\times 10^{-19}\,\mathrm{J}. Assim
K \;(\mathrm{eV})=\frac{K\;(\mathrm{J})}{1,602176634\times 10^{-19}\,\mathrm{J/eV}} \approx \frac{6,103\times 10^{-19}}{1,602176634\times 10^{-19}}\approx 3,807\;\mathrm{eV}.
Arredondando:
K \approx 3,8\;\mathrm{eV}.

Resposta

\Delta p_x \approx 1,1\times 10^{-24}\,\mathrm{kg\cdot m/s}
K \approx 6,1\times 10^{-19}\,\mathrm{J}
K \approx 3,8\,\mathrm{eV}

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