Um elétron é lançado com uma velocidade inicial de 3,2 times 10^3 m / s em direção a um próton mantido fixo no lugar. Se o elétron se encontra inicialmente a uma grande distância do próton, a que distância do próton a velocidade instantânea do elétron é duas vezes maior que o valor inicial?

Passo 1

Vamos resolver um problema de física onde um elétron é lançado em direção a um próton. O elétron tem uma velocidade inicial de e começa a uma grande distância do próton, que está fixo. Queremos descobrir a que distância do próton a velocidade do elétron será o dobro da velocidade inicial. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia, considerando energia cinética e energia potencial elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas. A energia total do elétron é a soma da sua energia cinética ( é) e da energia potencial elétrica ( ) devido à interação com o próton.

Passo 3

A energia cinética é dada por:
Ecinética = 12 m v^2 é
onde:
  • é a massa do elétron ( ),
  • é a velocidade do elétron.

Passo 4

A energia potencial elétrica entre o elétron e o próton é:
Epotencial = -k e^2r
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga do elétron ( ),
  • é a distância entre o elétron e o próton.

Passo 5

Como o elétron inicia a uma grande distância, a energia potencial inicial é aproximadamente zero. Assim, a energia total inicial é apenas a energia cinética inicial:
Etotal = 12 m v0^2
onde é a velocidade inicial.

Passo 6

Quando a velocidade do elétron dobra, ou seja, Ecinética final = 12 m (2v0)^2 = 2 m v0^2 , a energia cinética passa a ser:
é

Passo 7

Pela conservação da energia, a energia total inicial é igual à energia total final:
12 m v0^2 = 2 m v0^2 - k e^2r
Resolvendo para 12 m v0^2 - 2 m v0^2 = -k e^2r :
-32 m v0^2 = -k e^2r
r = 2 k e^23 m v0^2

Resposta

Substituindo os valores numéricos:
r = 2 times 8,988 times 10^9 , N·m^2/C^2 times (1,602 times 10^-19 , C)^23 times 9,109 times 10^-31 , kg times (3,2 times 10^3 , m/s)^2
Calculando:
r approx 1,65 times 10^-5 , metros
Portanto, a distância do próton onde a velocidade do elétron é duas vezes a velocidade inicial é aproximadamente .

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