Elétron como uma onda: qual a hipótese de de Broglie? qual seu postulado? cite as principais relações: momentum, energia e comprimento de onda.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados matemáticos/físicos vamos usar (constantes que aparecerão):
- O que o enunciado pede:
- Qual a hipótese de de Broglie?
- Qual o postulado de de Broglie?
- Citar as principais relações: momentum, energia e comprimento de onda.
- Constantes e símbolos que usarei:
-
= constante de Planck. -
= constante de Planck reduzida. -
= velocidade da luz no vácuo. -
= massa da partícula (por ex. massa do elétron). -
= velocidade da partícula. -
= momento linear (momentum) da partícula. -
= energia total da partícula. -
= comprimento de onda associado à partícula. -
= frequência associada à onda. -
= número de onda; = frequência angular.
Nenhuma informação numérica específica foi dada no enunciado, só pede as ideias e fórmulas principais.
-
Passo 2
Contexto físico e origem das ideias (breve e didático).
- Antes de de Broglie: Planck e Einstein mostraram que a luz tem comportamento corpuscular/ondulatório ao mesmo tempo: a energia de um fóton é dada por
e, para fótons (partículas de luz) que se propagam com velocidade
, a relação relativística entre energia e momento dá
. Unindo essas duas, obtemos para fótons
- Como a frequência
e o comprimento de onda para uma onda estão ligados por , isso leva a
para fótons.
- A ideia de de Broglie foi: “Se a luz, que antes parecia só onda, tem momento e energia quânticos, por que matéria (elétrons, prótons, etc.) não teriam também uma natureza ondulatória?” Ele generalizou a relação encontrada para fótons e propôs que partículas materiais também têm ondas associadas.
Passo 3
Enunciado formal da hipótese e do postulado de de Broglie (explicado passo a passo).
- Hipótese de de Broglie (em palavras): a matéria tem natureza dual — além de propriedades corpusculares, cada partícula material está associada a uma onda com características bem definidas.
- Postulado de de Broglie (matematicamente): a relação entre comprimento de onda
e momento linear é a mesma forma que vale para fótons:
Explicando: isso significa que quanto maior o momentum de uma partícula, menor será o comprimento de onda associado — partículas rápidas têm ondas de comprimento menor.
Passo 4
Relações fundamentais entre momento, comprimento de onda, número de onda e constantes de Planck.
- Definições de número de onda e frequência angular:
- Usando
e definindo , obtemos fórmulas úteis:
- Outra forma direta da relação momento–onda (muito usada):
Essas fórmulas são extremamente práticas: transformam quantidades da partícula (
) em quantidades da onda (
).
Passo 5
Relações energia–frequência e energia total (fótons versus partículas massivas).
- Para qualquer quanta associado a onda, a relação de Planck vale:
- Para fótons em particular (massa nula) existe
, e daí veio originalmente. - Para partículas massivas, a relação energia–momento relativística geral é
Isto é: conhecendo
pode-se achar
, e vice-versa. Em particular:
onde
.
Passo 6
Limite não-relativístico (útil em muitos problemas com elétrons lentos) e fórmulas práticas.
- Energia cinética não-relativística:
- Se a energia associada na relação
for tomada como energia cinética (caso não-relativístico), então a frequência associada é . - Comprimento de onda de Broglie em termos da energia cinética:
Essa é a fórmula prática que se usa para elétrons com energia bem menor que
.
Passo 7
Velocidade de fase e velocidade de grupo — por que a partícula vai com a onda?
- Para uma onda monofrequencial a velocidade de fase é
- A velocidade de grupo (aquela que transporta energia/informação e corresponde à velocidade da partícula) é
- Usando a relação relativística
obtém-se
ou seja, o grupo da onda se move com a velocidade da partícula — perfeito, pois é isso que garante que a onda “carrega” a partícula.
- Observação útil no limite não-relativístico: com
,
ou seja, a velocidade de fase é metade da velocidade da partícula (isso pode parecer estranho, mas não é problemático: velocidade de fase não transporta a partícula).
Passo 8
Confirmação experimental e uso prático (motivação rápida).
- A hipótese de de Broglie foi confirmada por difração e experimentos de interferência com elétrons (Davisson–Germer e outros): elétrons apresentam padrões de difração em redes cristalinas compatíveis com
. - Dica prática na prova: para elétrons acelerados por uma diferença de potencial
(não-relativístico), usar
Uma forma conhecida numericamente para elétrons (não-relativística) é
mas memorize a deriva se não confiar nos números: começar de
e substituir constantes quando precisar.
Passo 9
Resumo didático final (como lembrar e aplicar rápido na prova)
- Memorização das três relações-chave:
- comprimento de onda:
, - momento:
, - energia–frequência:
.
- comprimento de onda:
- Lembre que para partículas massivas a relação entre
e é , e que a velocidade que interessa é a velocidade de grupo , que coincide com a velocidade da partícula. - Encerrando: de Broglie propôs que cada partícula tem uma onda associada com
; isso permite tratar fenômenos de difração/interferência de partículas e é central para a mecânica quântica.
Resposta
Hipótese de de Broglie: cada partícula material possui natureza dual e está associada a uma onda cujo comprimento de onda é inversamente proporcional ao seu momentum.
Postulado de de Broglie: a relação fundamental entre comprimento de onda e momentum é .
Principais relações:
.
.
.
(relação energia–momento relativística).
Postulado de de Broglie: a relação fundamental entre comprimento de onda e momentum é
Principais relações: