Elétron como uma onda: qual a hipótese de de Broglie? qual seu postulado? cite as principais relações: momentum, energia e comprimento de onda.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados matemáticos/físicos vamos usar (constantes que aparecerão):
  • O que o enunciado pede:
    • Qual a hipótese de de Broglie?
    • Qual o postulado de de Broglie?
    • Citar as principais relações: momentum, energia e comprimento de onda.
  • Constantes e símbolos que usarei:
    • h = constante de Planck.
    • \hbar = \dfrac{h}{2\pi} = constante de Planck reduzida.
    • c = velocidade da luz no vácuo.
    • m = massa da partícula (por ex. massa do elétron).
    • v = velocidade da partícula.
    • p = momento linear (momentum) da partícula.
    • E = energia total da partícula.
    • \lambda = comprimento de onda associado à partícula.
    • \nu = frequência associada à onda.
    • k = número de onda; \omega = frequência angular.
      Nenhuma informação numérica específica foi dada no enunciado, só pede as ideias e fórmulas principais.

Passo 2

Contexto físico e origem das ideias (breve e didático).
  • Antes de de Broglie: Planck e Einstein mostraram que a luz tem comportamento corpuscular/ondulatório ao mesmo tempo: a energia de um fóton é dada por
E = h\nu,
e, para fótons (partículas de luz) que se propagam com velocidade c, a relação relativística entre energia e momento dá E = pc. Unindo essas duas, obtemos para fótons
p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c}.
  • Como a frequência \nu e o comprimento de onda \lambda para uma onda estão ligados por c = \lambda \nu, isso leva a
p = \frac{h}{\lambda}
para fótons.
  • A ideia de de Broglie foi: “Se a luz, que antes parecia só onda, tem momento e energia quânticos, por que matéria (elétrons, prótons, etc.) não teriam também uma natureza ondulatória?” Ele generalizou a relação encontrada para fótons e propôs que partículas materiais também têm ondas associadas.

Passo 3

Enunciado formal da hipótese e do postulado de de Broglie (explicado passo a passo).
  • Hipótese de de Broglie (em palavras): a matéria tem natureza dual — além de propriedades corpusculares, cada partícula material está associada a uma onda com características bem definidas.
  • Postulado de de Broglie (matematicamente): a relação entre comprimento de onda \lambda e momento linear p é a mesma forma que vale para fótons:
\lambda = \frac{h}{p}.
Explicando: isso significa que quanto maior o momentum de uma partícula, menor será o comprimento de onda associado — partículas rápidas têm ondas de comprimento menor.

Passo 4

Relações fundamentais entre momento, comprimento de onda, número de onda e constantes de Planck.
  • Definições de número de onda e frequência angular:
k = \frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega = 2\pi \nu.
  • Usando \lambda = \dfrac{h}{p} e definindo \hbar = \dfrac{h}{2\pi}, obtemos fórmulas úteis:
k = \frac{p}{\hbar}, \qquad \omega = \frac{E}{\hbar}.
  • Outra forma direta da relação momento–onda (muito usada):
p = \hbar k.
Essas fórmulas são extremamente práticas: transformam quantidades da partícula ( p,E) em quantidades da onda ( k,\omega).

Passo 5

Relações energia–frequência e energia total (fótons versus partículas massivas).
  • Para qualquer quanta associado a onda, a relação de Planck vale:
E = h\nu = \hbar \omega.
  • Para fótons em particular (massa nula) existe E = pc, e daí veio p = h/\lambda originalmente.
  • Para partículas massivas, a relação energia–momento relativística geral é
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}.
Isto é: conhecendo p pode-se achar E, e vice-versa. Em particular:
p = \gamma m v,\qquad E = \gamma m c^{2},
onde \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}.

Passo 6

Limite não-relativístico (útil em muitos problemas com elétrons lentos) e fórmulas práticas.
  • Energia cinética não-relativística:
E_{\text{cin}} = \frac{p^{2}}{2m}.
  • Se a energia associada na relação E=h\nu for tomada como energia cinética (caso não-relativístico), então a frequência associada é \nu = E_{\text{cin}}/h.
  • Comprimento de onda de Broglie em termos da energia cinética:
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_{\text{cin}}}}.
Essa é a fórmula prática que se usa para elétrons com energia bem menor que mc^{2}.

Passo 7

Velocidade de fase e velocidade de grupo — por que a partícula vai com a onda?
  • Para uma onda monofrequencial a velocidade de fase é
v_{p} = \frac{\omega}{k} = \frac{E}{p}.
  • A velocidade de grupo (aquela que transporta energia/informação e corresponde à velocidade da partícula) é
v_{g} = \frac{d\omega}{dk} = \frac{dE/\hbar}{dp/\hbar} = \frac{dE}{dp}.
  • Usando a relação relativística E(p) obtém-se
v_{g} = \frac{p c^{2}}{E} = v_{\text{partícula}},í
ou seja, o grupo da onda se move com a velocidade da partícula — perfeito, pois é isso que garante que a onda “carrega” a partícula.
  • Observação útil no limite não-relativístico: com E \approx \dfrac{p^{2}}{2m},
v_{p}=\frac{E}{p}=\frac{p}{2m}=\frac{v}{2},
ou seja, a velocidade de fase é metade da velocidade da partícula (isso pode parecer estranho, mas não é problemático: velocidade de fase não transporta a partícula).

Passo 8

Confirmação experimental e uso prático (motivação rápida).
  • A hipótese de de Broglie foi confirmada por difração e experimentos de interferência com elétrons (Davisson–Germer e outros): elétrons apresentam padrões de difração em redes cristalinas compatíveis com \lambda = h/p.
  • Dica prática na prova: para elétrons acelerados por uma diferença de potencial V (não-relativístico), usar
E_{\text{cin}} = eV,\qquad \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m e V}}.
Uma forma conhecida numericamente para elétrons (não-relativística) é
\lambda(\text{\AA}) \approx \frac{12{,}27}{\sqrt{V(\text{V})}},
mas memorize a deriva se não confiar nos números: começar de \lambda = h/\sqrt{2meV} e substituir constantes quando precisar.

Passo 9

Resumo didático final (como lembrar e aplicar rápido na prova)
  • Memorização das três relações-chave:
    • comprimento de onda: \lambda = \dfrac{h}{p},
    • momento: p = \hbar k,
    • energia–frequência: E = h\nu = \hbar \omega.
  • Lembre que para partículas massivas a relação entre E e p é \,E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}\,, e que a velocidade que interessa é a velocidade de grupo v_{g}=d\omega/dk, que coincide com a velocidade da partícula.
  • Encerrando: de Broglie propôs que cada partícula tem uma onda associada com \lambda=h/p; isso permite tratar fenômenos de difração/interferência de partículas e é central para a mecânica quântica.

Resposta

Hipótese de de Broglie: cada partícula material possui natureza dual e está associada a uma onda cujo comprimento de onda é inversamente proporcional ao seu momentum.
Postulado de de Broglie: a relação fundamental entre comprimento de onda e momentum é \lambda = \dfrac{h}{p}.
Principais relações:
\displaystyle \lambda=\frac{h}{p}.
\displaystyle p=\hbar k.
\displaystyle E=h\nu=\hbar\omega.
\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2} (relação energia–momento relativística).

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