Apresente os seguintes postulados da Mecânica Quântica:
Função de onda;
Operadores quânticos momentum, energia e energia cinética. O que é um autovalor? e uma autofunção?;
Equação de Schröedinger: uma breve descrição.
Passo 1
O enunciado pede que eu apresente e explique, de forma didática e passo a passo, os seguintes itens:
Função de onda;
Operadores quânticos momentum, energia e energia cinética; esclarecer o que é um autovalor (eigenvalue) e uma autofunção (eigenfunction);
Equação de Schrödinger: uma descrição breve.
Vou tratar cada item com definições, fórmulas (explicando cada símbolo), exemplos concretos e dicas para você aplicar na prova. Nada será assumido como conhecido; tudo será explicado devagarinho.
Passo 2
O que é a função de onda e como interpretá‑la (a regra de Born).
Definição: a função de onda é uma função complexa \psi(\mathbf r,t) que descreve o estado de uma partícula (ou de um sistema). Aqui \mathbf r é a posição (em coordenadas (x,y,z) ou apenas x em 1D) e t é o tempo.
Interpretação probabilística (regra de Born): a densidade de probabilidade de encontrar a partícula perto de \mathbf r no instante t é
Isto significa que a partícula está em algum lugar do espaço com probabilidade 1.
Projeto prático na prova: se te derem uma \psi, calcula |\psi|^2, integra e ajusta a constante de normalização A tal que a integral valha 1. Sempre trate fases globais e^{i\varphi} como irrelevantes para probabilidades.
Passo 3
Operadores quânticos: ideia geral e valor esperado.
Conceito: um observável físico (posição, momentum, energia, …) é representado por um operador linear \hat O que age sobre funções de onda. Operadores aplicam transformações em \psi.
Expectation value (valor esperado): o resultado médio de muitas medições de \hat O num estado \psi é
\langle \hat O \rangle(t)=\int_{\mathbb{R}^3}\psi^*(\mathbf r,t)\,\hat O\,\psi(\mathbf r,t)\,\mathrm d^3r.
Operadores que correspondem a observáveis são Hermitianos (autoadjuntos), o que garante que autovalores são reais. Formalmente, \hat O^\dagger=\hat O.
Dica prática: sempre verifique linearidade e hermiticidade se pedirem justificar propriedades de um operador.
Passo 4
Operador momentum (quantum): definição, unidades e exemplo.
Em 1D:
\hat p_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.
Em 3D:
\hat{\mathbf p} = -i\hbar\nabla,
onde \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
Explicando símbolos:
i é a unidade imaginária;
\hbar é a constante de Planck reduzida (\hbar=\dfrac{h}{2\pi});
\partial/\partial x é a derivada parcial em relação a x;
Conclusão: a função \psi_p é uma autofunção de \hat p_x com autovalor p. Observação importante: essa \psi_p não é quadrado-integrável em \mathbb R (não é normalizável de forma usual); usa‑se normalização por delta de Dirac em espaços contínuos.
Passo 5
Operador energia cinética (kinetic energy).
Classicamente T=\dfrac{p^2}{2m}. Em QM promove‑se p ao operador \hat p e obtém‑se
O Hamiltoniano é o operador responsável pela evolução do sistema no tempo (ver Schrödinger adiante). Autovalores de \hat H são os níveis de energia mensuráveis.
Passo 7
O que é um autovalor e uma autofunção (definição e interpretação).
Definição matemática: se \hat O é um operador e existe uma função \varphi\neq 0 e um número o tal que
\hat O\,\varphi = o\,\varphi,
então o é um autovalor (eigenvalue) e \varphi é a autofunção (eigenfunction) associada.
Interpretação física: se o sistema está numa autofunção \varphi de um observável \hat O, uma medição de \hat O dará o resultado o com probabilidade 1.
Expansão em autovetores: qualquer estado \psi pode ser expandido na base de autofunções de \hat O (se a base for completa):
\psi=\sum_n c_n\phi_n \quad\text{ou}\quad \psi=\int c(o)\,\phi_o\,\mathrm d o
para espectros discretos ou contínuos. As probabilidades de obter o_n na medição são |c_n|^2 (ou |c(o)|^2\mathrm d o em contínuo), com
Dica de prova: quando pedirem “qual a probabilidade de obter …”, projete \psi na autofunção correspondente e calcule o módulo ao quadrado do coeficiente.
Passo 8
Equação de Schrödinger: forma dependente do tempo e independente do tempo.
Equação de Schrödinger dependente do tempo (forma canônica para sistemas não relativísticos):
i\hbar\partial_t\psi representa a variação temporal do estado (e aparece como operador de energia);
\hat H é o Hamiltoniano (energia total) que age em \psi.
Equação de Schrödinger independente do tempo (estados estacionários): se \hat H não depende de t, procura‑se soluções separáveis \psi(\mathbf r,t)=\varphi(\mathbf r)e^{-iEt/\hbar}. Substituindo obtém‑se
\hat H\,\varphi(\mathbf r)=E\,\varphi(\mathbf r).
Isto é um problema auxiliar de autovalores: encontrar \varphi (autofunção espacial) e E (autovalor de energia).
Interpretação física resumida:
A equação dependente do tempo dá a evolução determinística da função de onda;
A equação independente do tempo dá os possíveis níveis de energia e as formas espaciais (modos) associadas.
Propriedades práticas: evolução unitária (probabilidade conservada) e superposição de estados.
Passo 9
Um exemplo passo a passo rápido (útil para prova): partícula livre 1D.
que são exatamente os planos de onda que já apareceram; aplicando \hat p mostram‑se autofunções de \hat p com autovalor \pm\hbar k e energia E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}=\dfrac{p^2}{2m}.
Observação de prova: para estados físicos localizados use pacotes de onda (superposição de planos de onda) e normalize apropriadamente.
Passo 10
Dicas finais rápidas para a prova (como aplicar na prática)
Quando pedirem a função de onda: escreva \psi, calcule |\psi|^2, normalize. Pergunta de probabilidade → projete em autofunções.
Para operadores diferenciais: aplique derivadas explicitamente, simplifique fator por fator e cheque dimensões físicas (unidades).
Para autovalores/autofunções: resolva \hat O\varphi=o\varphi; se \varphi for normalizável e \hat O hermitiano então o é real e \varphi pode ser escolhida ortonormal às demais.
Para Schrödinger: identifique o Hamiltoniano (escreva \hat H), resolva o problema estacionário se for tempo independente, depois construa evolução temporal com e^{-iEt/\hbar}.
Resposta
Função de onda: \psi(\mathbf r,t) é a amplitude de probabilidade cujo módulo ao quadrado \bigl|\psi(\mathbf r,t)\bigr|^2 dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em \mathbf r no tempo t, com normalização \displaystyle\int_{\mathbb R^3}\bigl|\psi(\mathbf r,t)\bigr|^2\mathrm d^3r=1.
Operador energia cinética: \hat T=\dfrac{\hat p^2}{2m}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2, que aplicado a um plano de ondas dá \dfrac{p^2}{2m} vezes a própria função.
Operador energia / Hamiltoniano: \hat E=i\hbar\partial_t como operador temporal e o Hamiltoniano físico \hat H=\hat T+V(\mathbf r)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r); autovalores de \hat H são os níveis de energia mensuráveis.
O que é um autovalor e uma autofunção: são números o e funções \varphi tais que \hat O\varphi=o\varphi; o é o autovalor (valor possível da medição) e \varphi é a autofunção associada. Se \psi=\sum c_n\phi_n, a probabilidade de medir o_n é |c_n|^2.