a) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o primeiro estado excitado,
, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos analisar se um elétron pode absorver a energia de uma luz específica e passar para o primeiro estado excitado, ou seja, para o nível quântico $ n = 2 $. O conteúdo aqui envolve mecânica quântica, mais especificamente os níveis de energia de uma partícula em uma caixa. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os níveis de energia e comparar a energia da luz com a diferença de energia entre os estados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular os níveis de energia para um elétron preso em uma “caixa” quântica. A fórmula para a energia de um elétron no estado quântico $ n $ é:
Aqui:
- $ E_n $ é a energia do estado $ n $.
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
- $ m $ é a massa do elétron.
- $ L $ é o comprimento da caixa.
- $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …).
Passo 3
Agora, queremos saber se o elétron pode absorver uma luz com energia $ \hbar \omega = \frac{4 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} $ e passar do estado $ n = 1 $ para $ n = 2 $. Para isso, vamos calcular a diferença de energia entre esses dois estados.
Calculando $ E_1 $:
Calculando $ E_2 $:
A diferença de energia $ \Delta E $ necessária para a transição de $ n = 1 $ para $ n = 2 $ é:
Passo 4
Agora, vamos comparar a energia da luz fornecida com a diferença de energia necessária para a transição:
Sabemos que para a transição acontecer, a energia da luz $ \hbar \omega $ deve ser igual ou maior que $ \Delta E $:
Simplificando, percebemos que:
O que é verdade.
Resposta
Sim, o elétron pode absorver essa energia e ir para o estado excitado $ n = 2 $, pois a energia da luz é suficiente para a transição.