Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais Rn(r) Yl^m(theta, phi), onde Yl^m(theta, phi) são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
c) psi(r1, r2)=A[R5(r1) Y4^3(theta1, phi1) R4(r2) Y4^3(theta2, phi2)-R5(r2) Y4^3(theta2, phi2) R4(r1) Y4^3(theta1, phi1)](|uparrow downarrowrang<=-|downarrow uparrowrang<=)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois elétrons em um ponto quântico esférico, e a gente precisa identificar qual das funções de onda apresentadas é válida para esse sistema. Vamos trabalhar com funções espaciais que incluem os polinômios Harmônicos Esféricos $ Y_{l}^{m}(\theta, \phi) $ e considerar os estados de spin dos elétrons. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar as partes espaciais e de spin das funções de onda dos elétrons para garantir que tudo esteja certo conforme a física dos férmions.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que elétrons são férmions, o que significa que a função de onda total do sistema deve ser antissimétrica quando trocamos os dois elétrons. Isso é uma consequência do Princípio de Exclusão de Pauli. A função de onda total é composta pela parte espacial e pela parte de spin. Se a parte espacial for simétrica, a parte de spin precisa ser antissimétrica, e vice-versa, para que o produto total seja antissimétrico.

Passo 3

Vamos analisar a parte espacial da função de onda dada na opção c):
R5(r1) Y4^3(theta1, phi1) R4(r2) Y4^3(theta2, phi2) - R5(r2) Y4^3(theta2, phi2) R4(r1) Y4^3(theta1, phi1))
Essa expressão é uma combinação linear que inverte as posições dos elétrons 1 e 2. Isso faz com que a parte espacial seja antissimétrica em relação à troca dos elétrons.

Passo 4

Agora, vamos ver a parte de spin da função de onda:
|uparrow downarrowrang<= - |downarrow uparrowrang<=
Essa combinação também é antissimétrica em relação aos spins dos elétrons. Isso é conhecido como um estado de spin singlete.

Passo 5

Como a parte espacial é antissimétrica e a parte de spin também é antissimétrica, o produto total das duas partes resulta em uma função de onda simétrica:
Antissimétrico (espacial) times Antissimétrico (spin) = Simétrico (total) ééé
Mas, como lembramos, para elétrons (que são férmions), a função de onda total precisa ser antissimétrica. Portanto, temos um problema.

Passo 6

Dessa forma, a opção c) apresenta uma função de onda que, ao combinar as partes espacial e de spin, resulta em uma função simétrica, o que não é permitido para elétrons. Portanto, a opção c) não é uma função de onda válida para o sistema de dois elétrons.

Resposta

A alternativa c) não apresenta uma função de onda válida para o sistema de dois elétrons, pois resulta em uma função total simétrica, o que viola o princípio de exclusão para férmions.

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