Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo psi(x)=A e^-a x para x>0 e psi(x)=A e^a x para x<0.
Determine a probabilidade de encontrar o elétron num ponto do intervalo x1=-12 e x1=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron descrito por uma função de onda que não depende do tempo, psi(x). Essa função é diferente para os valores de x positivos e negativos:
  • Para x > 0: psi(x) = A e^-a x
  • Para x < 0: psi(x) = A e^a x
O que a gente quer descobrir é a probabilidade de encontrar esse elétron no intervalo entre x = -12 e x = 12. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como a normalização da função de onda e a integração para encontrar probabilidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a constante A que normaliza a função de onda. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é feito integrando |psi(x)|^2 de -infty a +infty e igualando a 1:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Vamos dividir a integral em duas partes: de -infty a 0 e de 0 a +infty.

Passo 3

Para x < 0, psi(x) = A e^a x. Então, |psi(x)|^2 = A^2 e^2 a x. A integral fica:
integral-infty^0 A^2 e^2 a x dx
Resolvendo essa integral:
A^2 integral-infty^0 e^2 a x dx = A^2 [ e^2 a x2 a ]-infty^0 = A^2 ( 12 a - 0 ) = A^22 a

Passo 4

Para x > 0, psi(x) = A e^-a x. Assim, |psi(x)|^2 = A^2 e^-2 a x. A integral nesse intervalo é:
integral0^infty A^2 e^-2 a x dx
Resolvendo essa integral:
A^2 integral0^infty e^-2 a x dx = A^2 [ -e^-2 a x2 a ]0^infty = A^2 ( 0 - ( -12 a ) ) = A^22 a

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais para igualar a 1:
A^22 a + A^22 a = A^2a = 1
Resolvendo para A:
A^2 = a Rightarrow A = raiza

Passo 6

Com A encontrado, vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre x = -12 e x = 12. Isso significa integrar |psi(x)|^2 nesse intervalo:
P = integral-1/2^1/2 |psi(x)|^2 dx
Vamos dividir novamente em duas partes: de -1/2 a 0 e de 0 a 1/2.

Passo 7

Para x < 0, |psi(x)|^2 = a e^2 a x. A integral fica:
integral-1/2^0 a e^2 a x dx = a [ e^2 a x2 a ]-1/2^0 = 12 ( e^0 - e^-a ) = 12 (1 - e^-a)

Passo 8

Para x > 0, |psi(x)|^2 = a e^-2 a x. A integral nesse intervalo é:
integral0^1/2 a e^-2 a x dx = a [ -e^-2 a x2 a ]0^1/2 = 12 ( 1 - e^-a )

Passo 9

Somando as duas partes, a probabilidade total é:
P = 12 (1 - e^-a) + 12 (1 - e^-a) = 1 - e^-a

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no intervalo entre x = -12 e x = 12 é P = 1 - e^-a.

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