Uma partícula livre de massa m é o número de onda
está viajando para a direita. No ponto
, o potencial muda bruscamente de 0 para
e permanece com este valor para todos os valores positivo de x. Se a energia inicial da partícula é
:
Calcule o coeficiente de reflexão
do grau de potencial.
Calcule o coeficiente de reflexão
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo com um número de onda $ k_1 $ para a direita. No ponto $ x = 0 $, o potencial muda de 0 para $ V_0 $ e fica assim para todo $ x $ positivo. A energia da partícula é $ E = \frac{\hbar^{2} k_{1}^{2}}{2 m} = 2 V_{0} $. Nosso objetivo é calcular o coeficiente de reflexão $ R $ desse potencial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como partículas se comportam ao encontrar mudanças abruptas no potencial. Precisaremos entender como as funções de onda se comportam nessas situações e como calcular $ R $ a partir daí.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia $ E $ da partícula está relacionada ao número de onda $ k $ pela fórmula:
Dado que $ E = 2 V_{0} $, podemos encontrar $ k_1 $:
Passo 3
Agora, quando a partícula encontra o salto de potencial em $ x = 0 $, sua energia efetiva na região $ x > 0 $ será $ E - V_{0} = V_{0} $. Então, o novo número de onda $ k_2 $ nessa região é:
Passo 4
As funções de onda antes e depois do salto de potencial podem ser escritas como:
- Para $ x < 0 $:
Aqui, $ R $ é o coeficiente de reflexão que queremos encontrar.
- Para $ x > 0 $:
Onde $ T $ é o coeficiente de transmissão.
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno, que exigem que as funções de onda e suas derivadas sejam contínuas em $ x = 0 $:
Passo 6
Substituindo $ x = 0 $ nas funções de onda:
Derivando as funções:
Passo 7
Da primeira equação, temos $ T = 1 + R $. Substituindo na segunda equação:
Podemos dividir ambos os lados por $ i $ e simplificar:
Passo 8
Resolvendo para $ R $:
Passo 9
Agora, substituímos os valores de $ k_1 $ e $ k_2 $:
Então:
Simplificando:
Resposta
O coeficiente de reflexão é $ R = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} $, que aproximadamente vale $ R \approx 0,1716 $.