Elevando ao quadrado ambos os lados da equação
\mathbf{A}=\mathbf{B}-\mathbf{C}
e interpretando geometricamente o resultado, prove a “lei dos co-senos”.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
Dado a equação vetorial
\mathbf{A}=\mathbf{B}-\mathbf{C},
o enunciado pede que elevemos ambos os lados ao quadrado e, interpretando geometricamente esse quadrado, provemos a “lei dos co-senos”.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar sem perguntar nada:
  • \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são vetores em um plano (ou no espaço), com módulos |\mathbf{A}|,|\mathbf{B}|,|\mathbf{C}|.
  • A operação “elevar ao quadrado” de um vetor será entendida como tomar o produto escalar do vetor por si mesmo, ou seja, |\mathbf{V}|^2=\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}.
  • Precisamos interpretar geometricamente o resultado, ou seja, ligar as magnitudes e o produto escalar ao ângulo formado entre vetores, para obter a fórmula conhecida como lei dos co-senos.

Passo 2

Lembra do produto escalar (dot product)? Vou te explicar devagar e com carinho. Para dois vetores \mathbf{X} e \mathbf{Y} definimos o produto escalar por duas formas equivalentes que vamos usar: definição algébrica e interpretação geométrica.
Definição algébrica (propriedades que usaremos): o produto escalar é bilinear e simétrico, então vale
(\mathbf{X}+\mathbf{Y})\cdot \mathbf{Z}=\mathbf{X}\cdot\mathbf{Z}+\mathbf{Y}\cdot\mathbf{Z},
\mathbf{X}\cdot\mathbf{Y}=\mathbf{Y}\cdot\mathbf{X}.
Interpretação geométrica (a mais importante aqui): o produto escalar mede quanto um vetor projeta no outro. Se \theta é o ângulo entre \mathbf{X} e \mathbf{Y}, então
\mathbf{X}\cdot\mathbf{Y}=|\mathbf{X}||\mathbf{Y}|\cos\theta.
Explicação rápida do porquê: projetando \mathbf{X} na direção de \mathbf{Y} temos componente |\mathbf{X}|\cos\theta; multiplicando pela magnitude de \mathbf{Y} obtemos a quantidade escalar que é o produto escalar. Isso é o vínculo chave entre ângulos e produtos escalares.
Também note a consequência para o quadrado (módulo ao quadrado):
\mathbf{X}\cdot\mathbf{X}=|\mathbf{X}|^2.

Passo 3

Agora vamos “elevar ao quadrado” ambos os lados da equação \mathbf{A}=\mathbf{B}-\mathbf{C}. Vou fazer isso tomando o produto escalar de cada lado por si mesmo:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}=(\mathbf{B}-\mathbf{C})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{C}).
Lado esquerdo é simplesmente o quadrado do módulo de \mathbf{A}:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}=|\mathbf{A}|^2.

Passo 4

Agora expandimos o lado direito usando bilinearidade do produto escalar. Cuidado: usar a distributividade igualzinho que com números:
(\mathbf{B}-\mathbf{C})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot\mathbf{B}-\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}-\mathbf{C}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{C}\cdot\mathbf{C}.
Como o produto escalar é simétrico ( \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=\mathbf{C}\cdot\mathbf{B}), os dois termos do meio somam para -2\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}. Então obtemos
|\mathbf{A}|^2=|\mathbf{B}|^2+|\mathbf{C}|^2-2\,\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}.
Até aqui é pura álgebra vetorial — nada ainda de “lei dos co-senos”, só uma identidade exata.

Passo 5

Agora a parte geométrica: interpretar \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}. Seja \theta o ângulo entre \mathbf{B} e \mathbf{C}. Pela interpretação geométrica do produto escalar que vimos no Passo 2, vale
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=|\mathbf{B}||\mathbf{C}|\cos\theta.
Substituindo isso na identidade do Passo 4 obtemos
|\mathbf{A}|^2=|\mathbf{B}|^2+|\mathbf{C}|^2-2|\mathbf{B}||\mathbf{C}|\cos\theta.

Passo 6

Agora fazemos a ligação explícita com um triângulo — é aqui que se revela a “lei dos co-senos” como normalmente a vemos em geometria plana. Considere um triângulo com vértices P,Q,R. Coloque o vértice P na origem e represente os dois lados que saem de P por vetores \mathbf{B} e \mathbf{C}: por exemplo \overrightarrow{PQ}=\mathbf{B} e \overrightarrow{PR}=\mathbf{C}. Então o lado oposto a P, que é \overline{QR}, é dado pelo vetor diferença
\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}=\mathbf{C}-\mathbf{B}.
Se naquele enunciado inicial você tinha \mathbf{A}=\mathbf{B}-\mathbf{C}, basta trocar rótulos ou considerar orientação; o importante é que o módulo de \mathbf{A} corresponde ao comprimento do lado oposto ao ângulo entre \mathbf{B} e \mathbf{C}. Então, chamando de a,b,c os comprimentos dos lados do triângulo e de \alpha o ângulo entre os lados de comprimentos b e c, fazemos a correspondência
|\mathbf{A}|=a,\qquad |\mathbf{B}|=b,\qquad |\mathbf{C}|=c,\qquad \theta=\alpha.
Substituindo na identidade do Passo 5, obtemos exatamente a forma habitual da lei dos co-senos:
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.

Passo 7

Vou reforçar com um pequeno exemplo numérico para fixar a intuição (só para ver que funciona na prática). Suponha um triângulo com lados b=5, c=7 e ângulo entre eles \alpha=60^\circ. Então a lei dos co-senos dá
a^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cos 60^\circ=25+49-70\cdot\frac{1}{2}=74-35=39,
logo a=\sqrt{39}. Isso bate com a interpretação vetorial: se \mathbf{B} e \mathbf{C} têm magnitudes 5 e 7 e ângulo 60^\circ, então |\mathbf{B}-\mathbf{C}|=\sqrt{39}.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (para você lembrar na prova): elevar ao quadrado um vetor significa tomar produto escalar por si; expandir (\mathbf{B}-\mathbf{C})\cdot(\mathbf{B}-\mathbf{C}) com bilinearidade dá uma expressão com -2\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}; interpretar \mathbf{B}\cdot\mathbf{C} como |\mathbf{B}||\mathbf{C}|\cos\theta transforma a identidade vetorial na lei dos co-senos clássica para o triângulo formado pelos vetores.

Resposta

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha

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