Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C, D, são
\begin{gathered} \mathbf{A}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} \\\ \mathbf{B}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} \\\ \mathbf{C}=3 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}-2 \mathbf{k} \\\ \mathbf{D}=\mathbf{k}-\mathbf{j} \end{gathered}
Demonstre que as linhas A B e C D são paralelas e encontre a razão entre seus comprimentos.

Passo 1

O enunciado dá os vetores posição (do ponto até a origem) dos pontos A,B,C,D e pede duas coisas: demonstrar que as retas AB e CD são paralelas e encontrar a razão entre os comprimentos desses segmentos. As informações fornecidas são:
\mathbf{A}=(1,1,1),\quad \mathbf{B}=(2,3,0),\quad \mathbf{C}=(3,5,-2),\quad \mathbf{D}=(0,-1,1),
sendo que anotei \mathbf{D}=(0,-1,1) porque \mathbf{D}=\mathbf{k}-\mathbf{j} (ou seja, coordenadas (0,-1,1)).
A tarefa é: (i) mostrar AB e CD são paralelas; (ii) achar a razão entre |AB| e |CD|.

Passo 2

Primeiro precisamos obter o vetor diretor do segmento AB. Regra usada: se \mathbf{X} e \mathbf{Y} são os vetores posição de dois pontos X e Y, então o vetor que vai de X a Y é
\overrightarrow{XY}=\mathbf{Y}-\mathbf{X}.
Isto vem da subtração componente a componente: a diferença das coordenadas dá a direção e o sentido do segmento. Aplicando para A\to B:
\overrightarrow{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}.
Agora calculemos componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(2-1,\;3-1,\;0-1)=(1,2,-1).
Expliquei cada subtração: primeira componente 2-1=1, segunda 3-1=2, terceira 0-1=-1.

Passo 3

Agora o vetor diretor do segmento CD é
\overrightarrow{CD}=\mathbf{D}-\mathbf{C}.
Subtraindo componente a componente usando \mathbf{D}=(0,-1,1) (da imagem do enunciado) e \mathbf{C}=(3,5,-2):
\overrightarrow{CD}=(0-3,\;-1-5,\;1-(-2))=(-3,-6,3).
Novamente, cada entrada: 0-3=-3, -1-5=-6, 1-(-2)=3.

Passo 4

Comparemos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD}. Temos
\overrightarrow{AB}=(1,2,-1),\qquad \overrightarrow{CD}=(-3,-6,3).
Observe que cada componente de \overrightarrow{CD} é -3 vezes a correspondente de \overrightarrow{AB}. Em forma vetorial:
\overrightarrow{CD}=-3\,(1,2,-1)=-3\,\overrightarrow{AB}.
Fato importante (critério de paralelismo): dois vetores não-nulos são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Como \overrightarrow{CD} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB} (escala -3), concluímos que as retas AB e CD são paralelas. O sinal negativo indica que têm sentidos opostos (vetores apontam em direções opostas), mas continuam paralelos.

Passo 5

Agora calculamos os comprimentos (normas) para obter a razão. A norma de um vetor (x,y,z) é dada por
\|(x,y,z)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aplicando a \overrightarrow{AB}=(1,2,-1):
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Como \overrightarrow{CD}=-3\,\overrightarrow{AB}, a norma satisfaz \|\overrightarrow{CD}\|=|{-3}|\;\|\overrightarrow{AB}\|=3\|\overrightarrow{AB}\|. Logo
\|\overrightarrow{CD}\|=3\sqrt{6}.

Passo 6

Da relação acima segue a razão entre os comprimentos:
\frac{\|\overrightarrow{AB}\|}{\|\overrightarrow{CD}\|}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{3}.
Em notação de proporção, \|\overrightarrow{AB}\|:\|\overrightarrow{CD}\|=1:3. Concluímos que AB tem um terço do comprimento de CD.

Resposta

As retas AB e CD são paralelas.
Razão entre os comprimentos: \|\overrightarrow{AB}\|:\|\overrightarrow{CD}\|=1:3 (ou \|\overrightarrow{AB}\|/\|\overrightarrow{CD}\|=1/3).

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