Para elevar uma potência de 10 a outra potência, multiplica-se o expoente pela potência. Explique por que isso funciona.
Passo 1
O enunciado pede que se explique por que, ao elevar uma potência de 10 a outra potência, multiplica-se os expoentes. Em outras palavras, por que vale a igualdade
(10^{a})^{b}=10^{a b}
para os expoentes que quisermos considerar. As informações dadas são apenas a expressão acima (base 10 e dois expoentes a e b). O objetivo é justificar essa propriedade e entender por que ela é verdadeira em vários casos (expoentes inteiros, inteiros negativos, racionais e reais).
Passo 2
Entendimento básico: o que significa expoente inteiro positivo. Quando dizemos 10^{m} com m inteiro positivo, significa multiplicar 10 por si mesmo m vezes. Escrevemos isso como
Isso mostra a propriedade para expoentes inteiros positivos: compor a operação de “multiplicar m cópias” (repetida n vezes) resulta em multiplicar m n cópias.
Passo 4
Caso do expoente zero e expoentes inteiros negativos (extensão natural). Pela definição conveniente de potências:
Definimos 10^{0}=1. Então para qualquer inteiro m,
Portanto a propriedade vale para inteiros negativos também.
Passo 5
Expoentes racionais: ideia e prova. Seja a=\dfrac{p}{q} e b=\dfrac{r}{s} com p,q,r,s inteiros positivos (frações em forma reduzida). Precisa-se antes aceitar a definição de potência racional: 10^{p/q} é o número positivo cuja q-ésima potência é 10^{p}, isto é, o número x>0 tal que x^{q}=10^{p}. Agora considere a quantidade
porque ao combinar os expoentes temos multiplicações que cancelam os denominadores. Se eu definir também
B=10^{(p/q)\cdot(r/s)}=10^{p r/(q s)},
então
B^{q s}=10^{p r}.
Agora temos A^{q s}=B^{q s}=10^{p r}. Como estamos trabalhando com potências positivas e a função x\mapsto x^{q s} é injetora em x>0 (isto é, números positivos com a mesma q s-ésima potência são iguais), segue que A=B. Assim
(10^{p/q})^{r/s}=10^{(p/q)(r/s)}.
Isso prova a propriedade para expoentes racionais.
Passo 6
Expoentes reais: definição via exponencial e logaritmo. Para estender a igualdade a expoentes reais arbitrários, usa-se a definição de potência real baseada em exponencial e logaritmo: para todo real x define-se
10^{x}=e^{x\ln 10},
onde e^{t} é a exponencial natural e \ln é o logaritmo natural. Essa definição coincide com as anteriores quando x é racional ou inteiro e tem boas propriedades analíticas (continuidade, multiplicação de expoentes, etc.). Usando essa definição,
Aqui foi usada a propriedade básica da exponencial real de que (e^{u})^{v}=e^{u v} para números reais u,v. Assim a igualdade se mantém para qualquer x,y\in\mathbb{R}.
Passo 7
Intuição final e resumo didático. Intuitivamente, um expoente conta quantas vezes multiplicamos a base. Fazer 10^{a} e em seguida elevar isso à potência b significa “fazer a mesma sequência de multiplicações a vezes, repetida b vezes”, o que dá no total a\cdot b multiplicações da base. Formalmente isso foi justificado para inteiros diretamente (contagem), para racionais usando raízes e unicidade, e para reais via a definição exponencial 10^{x}=e^{x\ln 10}. Portanto a regra é coerente em todos esses contextos e por isso funciona.