Elimine o módulo das expressões.
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede: eliminar o módulo da expressão
.
Informações dadas: a expressão dentro do módulo é a função linear e a variável
é real (
). O objetivo é escrever
sem o símbolo de módulo, em forma de expressão por partes (dependendo do sinal de
).
Informações dadas: a expressão dentro do módulo é a função linear
Passo 2
Lembrete importante (definição que vamos usar): para qualquer quantidade
vale
Isto significa que o valor absoluto devolve sempre um número não negativo: se a expressão dentro do módulo já é não negativa, mantemos; se é negativa, trocamos o sinal.]
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, tomamos
. Precisamos separar os dois casos
e
. Primeiro resolvemos a desigualdade
Agora isolamos
: subtrai-se
de ambos os lados para obter
Ao dividir por
(número negativo) devemos inverter o sentido da desigualdade. Assim
Expliquei isso porque é um passo que costuma causar erro: dividir por número negativo inverte a desigualdade.
Passo 4
Concluímos que, quando
, a expressão dentro do módulo é não negativa (
), portanto, pelo caso superior da definição,
Verificação rápida no ponto limite: para
temos
, e ambos os lados dão
, então está consistente.
Passo 5
Agora o outro caso: quando
temos
. Pelo caso inferior da definição,
Fazendo a álgebra do lado direito:
Passo 6
Juntando os dois casos, obtemos a expressão sem módulo em forma por partes. Observação final: a função resultante é contínua em
porque em ambos os lados o valor é
.