Elimine o módulo das expressões.
h) \left|x^{2}+7\right|
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: eliminar o módulo da expressão \left|x^{2}+7\right|. Ou seja, escrever essa expressão sem o símbolo de valor absoluto, indicando (se for o caso) uma forma equivalente válida para todos os x reais. A variável envolvida é x, que assumimos variar em todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
Passo 2
Definição útil do valor absoluto (a ferramenta que vamos usar). Para qualquer número real a vale:
Explicando devagar: o valor absoluto de um número é a sua distância até zero na reta numérica. Se o número já é não negativo, o valor absoluto é ele mesmo; se é negativo, o valor absoluto é o oposto (muda-se o sinal) para torná-lo positivo.]
Passo 3
Aplique a definição ao nosso caso. Tome a = x^{2}+7. Primeiro observe uma propriedade básica dos quadrados:
x^{2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
porque qualquer número real ao quadrado não pode ser negativo. Somando 7 em ambos os lados desta desigualdade obtemos:
x^{2}+7 \ge 0+7 = 7.
Logo \,x^{2}+7\ge 7>0\, para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, a expressão dentro do módulo é sempre estritamente positiva, independentemente do valor de x.
Passo 4
Conseqüência direta da definição e da observação anterior: como a=x^{2}+7 satisfaz a>0 para todo x, na definição do módulo caímos no caso a\ge 0. Portanto o valor absoluto não altera o sinal nem o valor da expressão interior — o módulo apenas devolve a própria expressão.
Passo 5
Cheque rápido com exemplos numéricos para ganhar confiança:
Para x=0: x^{2}+7=0^{2}+7=7 e |7|=7.
Para x=1: 1^{2}+7=8 e |8|=8.
Para x=-3: (-3)^{2}+7=9+7=16 e |16|=16.
Em todos os casos o módulo não mudou o valor porque a quantidade interior já era positiva.