Elimine o módulo das expressões.
Passo 1
O enunciado pede para “eliminar o módulo” da expressão
. Ou seja, precisamos reescrever
sem o símbolo de valor absoluto, dando uma expressão equivalente sem o
. As informações fornecidas são apenas o número
(constante conhecida) e o número
.
Passo 2
Lembrete útil: a definição prática do valor absoluto é
Portanto, para eliminar o módulo de
devemos determinar o sinal do número
: se
então
; se
então
.]
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é positivo (ou seja,
). Uma demonstração simples e clássica usa um hexágono regular inscrito no círculo de raio
. Para esse círculo:
- O comprimento de cada lado do hexágono inscrito é o comprimento do corda correspondente a um ângulo central de
, que vale . Assim, cada lado do hexágono tem comprimento . - O perímetro do hexágono inscrito é então
. - O perímetro de um polígono inscrito é sempre menor que a circunferência do círculo que o contém. A circunferência do círculo de raio
é .
Logo,
Passo 4
Como acabamos de provar que
, segue que
. Aplicando a definição do valor absoluto do Passo 2, temos
Passo 5
Verificação numérica rápida (apenas para conferir):
, então
, consistente com o que vimos. Dica prática para provas: sempre que precisar eliminar um módulo do tipo
, compare
e
; se
então
, caso contrário
.