Elimine o módulo das expressões.
|\pi-3|

Passo 1

O enunciado pede para “eliminar o módulo” da expressão |\pi-3|. Ou seja, precisamos reescrever |\pi-3| sem o símbolo de valor absoluto, dando uma expressão equivalente sem o |\cdot|. As informações fornecidas são apenas o número \pi (constante conhecida) e o número 3.

Passo 2

Lembrete útil: a definição prática do valor absoluto é
|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Portanto, para eliminar o módulo de |\pi-3| devemos determinar o sinal do número \pi-3: se \pi-3\ge0 então |\pi-3|=\pi-3; se \pi-3<0 então |\pi-3|=-(\pi-3)=3-\pi.]

Passo 3

Agora vamos mostrar que \pi-3 é positivo (ou seja, \pi>3). Uma demonstração simples e clássica usa um hexágono regular inscrito no círculo de raio 1. Para esse círculo:
  • O comprimento de cada lado do hexágono inscrito é o comprimento do corda correspondente a um ângulo central de 60^\circ, que vale 2\sin(60^\circ/2)=2\sin(30^\circ)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1. Assim, cada lado do hexágono tem comprimento 1.
  • O perímetro do hexágono inscrito é então 6\cdot 1=6.
  • O perímetro de um polígono inscrito é sempre menor que a circunferência do círculo que o contém. A circunferência do círculo de raio 1 é 2\pi.
    Logo,
2\pi > 6 \quad\Rightarrow\quad \pi > 3.

Passo 4

Como acabamos de provar que \pi>3, segue que \pi-3>0. Aplicando a definição do valor absoluto do Passo 2, temos
|\pi-3| = \pi-3.

Passo 5

Verificação numérica rápida (apenas para conferir): \pi\approx 3,14159, então \pi-3\approx 0,14159>0, consistente com o que vimos. Dica prática para provas: sempre que precisar eliminar um módulo do tipo |a-b|, compare a e b; se a\ge b então |a-b|=a-b, caso contrário |a-b|=b-a.

Resposta

\pi-3

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