1. Elimine o termo \frac{\left(Z-Z_{1}\right)}{Z_{2}-Z_{1}} nas equações 1.8 e 1.7 e mostre que:
\begin{aligned} T_{F} & =\frac{9}{5} T_{C}+32 \\\ T_{C} & =\frac{5}{9}\left(T_{F}-32\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo \dfrac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}} que aparece nas equações 1.7 e 1.8 e, a partir daí, mostrar as fórmulas finais de conversão entre temperaturas:
\begin{aligned} T_{F} &= \frac{9}{5}T_{C} + 32,\\[4pt] T_{C} &= \frac{5}{9}\bigl(T_{F}-32\bigr). \end{aligned}
As equações 1.7 e 1.8 têm a forma padrão de uma interpolação linear (cada uma expressando uma temperatura como uma função linear de Z). Vou escrever essas equações de forma geral, assumindo os símbolos óbvios usados em interpolação linear:
\text{(1.7)}\quad T_{F} = T_{F1} + \bigl(T_{F2}-T_{F1}\bigr)\,\frac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}
\text{(1.8)}\quad T_{C} = T_{C1} + \bigl(T_{C2}-T_{C1}\bigr)\,\frac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}
O objetivo é eliminar \dfrac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}} e obter uma relação direta entre T_{F} e T_{C}. Vou usar dois pontos conhecidos da escala Celsius–Fahrenheit: para água congelando temos \,T_{C1}=0 e \,T_{F1}=32; para água fervendo temos \,T_{C2}=100 e \,T_{F2}=212. Esses são os pontos de ancoragem padrão que levam às fórmulas pedidas.]

Passo 2

Isolar o termo \dfrac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}} na equação \text{(1.8)}. A equação \text{(1.8)} é
T_{C} = T_{C1} + \bigl(T_{C2}-T_{C1}\bigr)\,\frac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}.
Subtraindo T_{C1} de ambos os lados e dividindo por \bigl(T_{C2}-T_{C1}\bigr) obtemos:
\frac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}} = \frac{T_{C}-T_{C1}}{T_{C2}-T_{C1}}.
Comentário didático: estamos apenas isolando a fração que aparece em ambas as equações. Isso é uma técnica comum — resolvemos uma equação para o parâmetro comum e substituímos na outra.

Passo 3

Substituir a expressão obtida no passo anterior em \text{(1.7)}. A equação \text{(1.7)} é
T_{F} = T_{F1} + \bigl(T_{F2}-T_{F1}\bigr)\,\frac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}.
Substituindo \dfrac{Z-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}} = \dfrac{T_{C}-T_{C1}}{T_{C2}-T_{C1}} obtemos:
T_{F} = T_{F1} + \bigl(T_{F2}-T_{F1}\bigr)\,\frac{T_{C}-T_{C1}}{T_{C2}-T_{C1}}.
Comentário didático: agora temos T_{F} em função apenas de T_{C} (e das constantes T_{F1},T_{F2},T_{C1},T_{C2}), que é o que queríamos.

Passo 4

Escolher os pontos de referência e calcular os coeficientes. Usando os pontos padrão:
T_{C1}=0,\quad T_{F1}=32,\quad T_{C2}=100,\quad T_{F2}=212.
Calcular a razão (coeficiente angular):
\frac{T_{F2}-T_{F1}}{T_{C2}-T_{C1}} = \frac{212-32}{100-0} = \frac{180}{100} = \frac{9}{5}.
Substituindo na fórmula do passo 3:
T_{F} = 32 + \frac{9}{5}\,\bigl(T_{C}-0\bigr).
Simplificando:
T_{F} = \frac{9}{5}T_{C} + 32.
Comentário didático: aqui fizemos duas coisas simples — calculamos a inclinação da reta que liga os dois pontos (diferença de Fahrenheit sobre diferença de Celsius) e aplicamos a fórmula da reta. Nenhuma calculadora complicada: só subtrações e uma divisão que simplifica para \dfrac{9}{5}.

Passo 5

Invertendo a relação para expressar T_{C} em função de T_{F}. Partimos de
T_{F} = \frac{9}{5}T_{C} + 32.
Primeiro subtraímos \,32 de ambos os lados:
T_{F}-32 = \frac{9}{5}T_{C}.
Agora multiplicamos ambos os lados por \dfrac{5}{9} para isolar T_{C}:
T_{C} = \frac{5}{9}\bigl(T_{F}-32\bigr).
Comentário didático: inverter uma relação linear é só manipular algebricamente isolando a variável desejada — subtrair o termo constante e dividir pelo coeficiente da variável.

Resposta

T_{F}=\dfrac{9}{5}T_{C}+32
T_{C}=\dfrac{5}{9}\bigl(T_{F}-32\bigr)

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