Uma corda vibra de acordo com a equação
y_{R}(x, t)=(5,00 \mathrm{~cm}) \mathrm{sen}\left[\left(\frac{\pi}{3} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~cm}}\right) x\right] \cos \left[\left(40 \pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}}\right) t\right]
onde x e y sāo dados em centímetros, t em segundos e os números em parênteses estāo em radianos
Qual a velocidade das ondas componentes cuja superposição origina essa vibração?

Passo 1

O enunciado pede: qual a velocidade das ondas componentes cuja superposição forma a vibração dada.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função da corda é y_{R}(x,t)=(5,00\\ \mathrm{cm})\sin\!\left[\left(\frac{\pi}{3}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{cm}}\right)x\right]\cos\!\left[\left(40\pi\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)t\right].
  • O coeficiente de x dentro do seno é o número de onda k=\frac{\pi}{3}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{cm}}.
  • O coeficiente de t dentro do cosseno é a frequência angular \omega=40\pi\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}.
  • Unidades: x e y em centímetros, t em segundos.

Passo 2

Entendendo o que precisamos usar (aulas rápidas e úteis): em ondas, a velocidade de propagação v de uma onda harmônica está relacionada com a frequência angular \omega e o número de onda k pela fórmula
v=\frac{\omega}{k}.
Explicando a fórmula e as grandezas:
  • \omega é a frequência angular, medida em rad/s; ela se relaciona com a frequência comum f por \omega=2\pi f.
  • k é o número de onda, medido em rad/unidade de comprimento (aqui rad/cm); ele se relaciona com o comprimento de onda \lambda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • A razão \omega/k vem de v=f\lambda=(\omega/2\pi)(2\pi/k)=\omega/k. Então, se tivermos \omega e k, basta dividir.
Observação didática: a forma dada (\text{const})\sin(kx)\cos(\omega t) é uma onda estacionária (resultante da superposição de duas ondas viajantes de mesma \omega e k em sentidos opostos). As ondas componentes individuais têm exatamente a mesma \omega e k, então usar v=\omega/k nos dá a velocidade de cada componente viajante.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado. Primeiro escrevo \omega e k explicitamente:
\omega = 40\pi\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}},\qquad k=\frac{\pi}{3}\\ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{cm}}.
Agora calculo v=\dfrac{\omega}{k}:
v=\frac{40\pi}{\pi/3}\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}.
Faço a divisão simplificando \pi:
v=40\pi\cdot\frac{3}{\pi}\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=40\cdot 3\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=120\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}.

Passo 4

Conversão para unidades do Sistema Internacional (opcional, mas útil): 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}, logo
v=120\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=1{,}20\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Verificação alternativa (mesma resposta, só para consolidar a ideia): calcule \lambda e f. Temos
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi/3}=6\\ \mathrm{cm},
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{40\pi}{2\pi}=20\\ \mathrm{Hz},
então v=f\lambda=20\cdot 6=120\\ \mathrm{cm/s}, igual ao que obtivemos acima.

Resposta

120\\ \mathrm{cm/s} = 1{,}20\\ \mathrm{m/s}

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