Embora estejamos acostumados a falar sobre o Princípio da Incerteza trabalhando com \Delta x \Delta p_{x}, não podemos nos esquecer de sua outra representação, a qual relaciona energia e tempo: \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}. Aqui, \Delta t pode ser interpretado como o tempo característico durante o qual um sistema permanece em um estado com energia definida, ou então, o tempo necessário para que possamos determinar com precisão o valor da Energia, sempre levando em consideração a ideia da qualidade, ou precisão do nosso resultado, o \Delta E.
Em alguns experimentos de física de partículas, criam-se partículas instáveis de vida muito curta. Uma dessas partículas é o méson \rho^{0}, que tem uma massa de repouso de aproximadamente 775 \mathrm{MeV} / c^{2} e uma vida média \tau \approx 4 \times 10^{-24} \mathrm{~s}. Qual é a incerteza mínima na energia (e, consequentemente, na massa) do méson \rho^{0} ? Expresse o resultado em MeV. O que essa incerteza representa em termos percentuais da massa de repouso? Isso pode ser considerado uma “partícula” bem definida?
\text { Use } \hbar \approx 1,054 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s} \approx 6,582 \times 10^{-16} \mathrm{eV} \cdot \mathrm{~s} ]

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei os números diretamente do enunciado):
  • Massa de repouso do méson \rho^{0}: m_{0} \approx 775\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.
  • Vida média (tempo característico): \tau \approx 4\times10^{-24}\\ \mathrm{s}.
  • Constante reduzida de Planck (fornecida): \hbar \approx 6,582\times10^{-16}\\ \mathrm{eV}\cdot\mathrm{s} (também dada em SI, mas usarei a forma em \mathrm{eV}\cdot\mathrm{s} para obter \Delta E em \mathrm{eV} / \mathrm{MeV}).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Qual é a incerteza mínima na energia (e consequentemente na massa) do méson \rho^{0}? Expressar em \mathrm{MeV}.
  2. Que fração percentual da massa de repouso isso representa?
  3. Isso pode ser considerado uma “partícula” bem definida?

Passo 2

Princípio da incerteza energia-tempo e interpretação prática:
  • A relação de incerteza relevante é \Delta E\,\Delta t \ge \dfrac{\hbar}{2}.
  • Aqui \Delta E é a incerteza na energia do estado e \Delta t é o tempo característico associado ao estado (no caso de partículas instáveis, é comum usar a vida média \tau como \Delta t).
  • Para obter a menor incerteza compatível com o princípio, usamos a igualdade mínima:
\Delta E_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta t}.
  • Neste problema escolhemos \Delta t=\tau porque \tau é o tempo médio em que a partícula permanece no estado antes de decair; essa é a interpretação usual em física de partículas para estimar a largura energética mínima.

Passo 3

Substituir números e calcular \Delta E_{\min} (fazendo as contas passo a passo e cuidando das unidades):
  • Usando \hbar em \mathrm{eV}\cdot\mathrm{s} e \Delta t=\tau em \mathrm{s}, a unidade resultante será \mathrm{eV}.
\Delta E_{\min} = \frac{\hbar}{2\tau} = \frac{6,582\times10^{-16}\\ \mathrm{eV}\cdot\mathrm{s}}{2\cdot(4\times10^{-24}\\ \mathrm{s})}.
  • Calcular o denominador: 2\cdot(4\times10^{-24})=8\times10^{-24}.
  • Divisão numérica:
\Delta E_{\min} = \frac{6,582\times10^{-16}}{8\times10^{-24}}\\ \mathrm{eV} = \left(\frac{6,582}{8}\right)\times10^{8}\\ \mathrm{eV}.
  • Avaliando \dfrac{6,582}{8}=0,82275, portanto
\Delta E_{\min} \approx 0,82275\times10^{8}\\ \mathrm{eV}=8,2275\times10^{7}\\ \mathrm{eV}.
  • Converter para \mathrm{MeV} (lembre que 1\\ \mathrm{MeV}=10^{6}\\ \mathrm{eV}):
\Delta E_{\min} \approx \frac{8,2275\times10^{7}\\ \mathrm{eV}}{10^{6}}=82,275\\ \mathrm{MeV}.
  • Arredondando sensatamente (dados originais com uma casa de ordem), podemos usar \Delta E_{\min}\approx82,3\\ \mathrm{MeV} ou, com menos dígitos significativos, \approx82\\ \mathrm{MeV}.

Passo 4

Converter a incerteza de energia em incerteza de massa:
  • Como energia de repouso e massa estão relacionadas por E=mc^{2}, a incerteza de massa \Delta m expressa em unidades de \mathrm{MeV}/c^{2} é numericamente igual a \Delta E em \mathrm{MeV}:
\Delta m \approx \frac{\Delta E}{c^{2}}\quad\Rightarrow\quad \Delta m\\ (\mathrm{em}\\ \mathrm{MeV}/c^{2}) \simeq \Delta E\\ (\mathrm{em}\\ \mathrm{MeV}).
  • Portanto
\Delta m \approx 82,3\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.

Passo 5

Calcular a incerteza percentual da massa de repouso:
  • A porcentagem é dada por \dfrac{\Delta m}{m_{0}}\times100\%.
\text{percentual} = \frac{82,275\\ \mathrm{MeV}/c^{2}}{775\\ \mathrm{MeV}/c^{2}}\times100\%.
  • Fazer a divisão:
\frac{82,275}{775}\approx0,1061\;\Rightarrow\;0,1061\times100\%=10,61\%.
  • Arredondando: aproximadamente 10,6\%.

Passo 6

Interpretação física e resposta à pergunta qualitativa:
  • Uma incerteza de massa \Delta m da ordem de \sim10\% da massa de repouso é relativamente grande. Em física de partículas isso quer dizer que o estado tem uma largura (energy width) significativa: o valor da “massa” observada na produção/decais aparece espalhado numa faixa ampla ao redor de m_{0}.
  • Partículas estáveis ou longamente vivas têm larguras muito pequenas comparadas à sua massa; aqui a largura é grande porque a vida média \tau é extremamente curta.
  • Conclusão prática: o \rho^{0} é identificado experimentalmente como uma ressonância bem conhecida, mas não é uma “partícula com massa bem definida” no sentido de uma massa com incerteza negligenciável; é uma ressonância relativamente ampla.

Resposta

\Delta E_{\min} \approx 82,3\\ \mathrm{MeV}
\Delta m \approx 82,3\\ \mathrm{MeV}/c^{2} (o que corresponde a aproximadamente 10,6\% da massa de repouso)
Não — a incerteza é grande (≈ 10,6\%), logo o \rho^{0} é uma ressonância relativamente ampla, não uma partícula com massa extremamente bem definida.

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