Qual o comprimento de onda de De Broglie para:
a) Um elétron com energia cinética de 120 eV ?
b) Uma pessoa de 70 kg caminhando a 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?
Discuta os resultados obtidos, especialmente no que concerne à possibilidade de observar efeitos ondulatórios. Existe algum motivo para não termos notado o caráter ondulatório da matéria macroscópica antes?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular o comprimento de onda de De Broglie para um elétron com energia cinética de 120\\ \mathrm{eV}.
    • (b) Calcular o comprimento de onda de De Broglie para uma pessoa de massa 70\\ \mathrm{kg} caminhando a 5\\ \mathrm{km/h}.
    • Discutir os resultados, especialmente sobre a possibilidade de observar efeitos ondulatórios e por que não notamos a ondulatoriedade da matéria macroscópica.
  • Dados fornecidos:
    • Para (a): energia cinética do elétron E_{\text{c}}=120\\ \mathrm{eV}.
    • Para (b): massa m=70\\ \mathrm{kg} e velocidade v=5\\ \mathrm{km/h}.
  • Informação adicional necessária (vou usar sem te perguntar): constante de Planck h e massa do elétron m_e. Vou converter unidades quando necessário (por exemplo, \mathrm{eV} para \mathrm{J}, e \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}).

Passo 2

Apresentar a fórmula de De Broglie e explicar o que cada símbolo significa.
A relação de De Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda associado à partícula (em metros);
  • h é a constante de Planck; vou usar h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s};
  • p é o momento linear (momentum) da partícula, medido em \mathrm{kg\cdot m/s}.
Explicação didática: a ideia é que toda partícula com momentum p tem associado um comprimento de onda \lambda. Se p é grande, \lambda é pequeno — ondas muito curtinhas são difíceis de detectar. Para partículas não relativísticas, o momentum pode ser obtido por p=m v (massa vezes velocidade) ou, quando a energia cinética E_{\text{c}} é conhecida, por
p = \sqrt{2 m E_{\text{c}}},
onde m é a massa da partícula e E_{\text{c}} deve estar em joules. Vou usar essa forma para o elétron, porque foi dada a energia; para a pessoa uso p=m v.

Passo 3

Parte (a): preparo das conversões e constantes para o elétron.
  • Massa do elétron: m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Energia cinética dada: E_{\text{c}}=120\\ \mathrm{eV}. Converter para joules usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E_{\text{c}} = 120 \times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1,922611961\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
(Nesta conta peguei o valor de 120\\ \mathrm{eV} do enunciado e converti para joules.)
Agora cálculo do momentum usando a expressão não relativística:
p = \sqrt{2 m_e E_{\text{c}}}.
Vou calcular numericamente esse p.

Passo 4

Cálculo numérico do momentum do elétron e verificação da aproximação não relativística.
  • Produto dentro da raiz:
2 m_e E_{\text{c}} = 2 \times 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\times 1,922611961\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Multiplicando obtemos aproximadamente 3,502\times10^{-47}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{2}/s^{2}}.
  • Portanto
p = \sqrt{3,502\times10^{-47}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s} \approx 5,92\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Verificação da hipótese não relativística: a velocidade estimada é v=p/m_e:
v\approx \frac{5,92\times10^{-24}}{9,10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s}\approx 6,5\times10^{6}\\ \mathrm{m/s},
que é cerca de 0,022\,c (com c a velocidade da luz). Como v\ll c, a fórmula não relativística é adequada aqui.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda de De Broglie para o elétron.
Agora aplico \lambda = h/p:
\lambda = \frac{6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{5,92\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}} \approx 1,12\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: \lambda\approx 1,12\times10^{-10}\\ \mathrm{m}, isto é cerca de 0,112\\ \mathrm{nm}. Essa ordem de grandeza está perto do espaçamento entre átomos em sólidos (algumas décimas de nanômetro), daí elétrons com energias nessa faixa mostram fenômenos de difração e interferência (experimentos de Davisson–Germer, microscopia eletrônica, etc.). Ou seja, os efeitos ondulatórios do elétron são observáveis experimentalmente porque a sua \lambda é comparável às dimensões de estruturas atômicas.

Passo 6

Parte (b): cálculo para a pessoa caminhando.
Primeiro converter a velocidade de 5\\ \mathrm{km/h} em \mathrm{m/s}:
v = 5\\ \mathrm{km/h} = \frac{5\,000\\ \mathrm{m}}{3\,600\\ \mathrm{s}} = 1,388888\ldots\\ \mathrm{m/s} \approx 1,389\\ \mathrm{m/s}.
Momentum clássico da pessoa:
p = m v = 70\\ \mathrm{kg}\times 1,388888\ldots\\ \mathrm{m/s} \approx 97,2222\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(Aqui peguei m=70\\ \mathrm{kg} e v convertido a partir do enunciado.)

Passo 7

Cálculo do comprimento de onda de De Broglie para a pessoa.
Aplicando \lambda = h/p:
\lambda = \frac{6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{97,2222\\ \mathrm{kg\cdot m/s}} \approx 6,82\times10^{-36}\\ \mathrm{m}.
Arredondando, \lambda\approx 6,8\times10^{-36}\\ \mathrm{m}. Esse valor é absurdamente pequeno: muito, muito menor que o tamanho de átomos ( \sim10^{-10}\\ \mathrm{m}), e da ordem de grandeza — ou até menor — do comprimento de Planck ( \sim1,6\times10^{-35}\\ \mathrm{m}). Em termos práticos experimentais, esse comprimento de onda é inacessível: para observar difração precisa-se de aberturas ou estruturas com dimensões comparáveis a \lambda, o que é impossível para objetos macroscópicos como uma pessoa.

Passo 8

Discussão física e resposta à pergunta conceitual sobre observabilidade e por que não percebemos a ondulatória da matéria macroscópica.
  • Regra qualitativa: para observar fenômenos ondulatórios (difração, interferência) o comprimento de onda \lambda deve ser comparável à dimensão das aberturas ou estruturas com que a onda interage. Se \lambda for muitíssimo menor que qualquer dimensão experimental disponível, os efeitos de difração são essencialmente nulos.
  • No caso do elétron com E_{\text{c}}=120\\ \mathrm{eV}, \lambda\sim10^{-10}\\ \mathrm{m}, compatível com distâncias atômicas; por isso efeitos ondulatórios de elétrons são observáveis e amplamente usados.
  • No caso da pessoa, \lambda\sim10^{-36}\\ \mathrm{m}: nenhum aparato experimental tem fendas ou objetos nessa escala, portanto não há como observar difração ou interferência de uma pessoa; esse é um motivo prático forte para não termos notado o caráter ondulatório da matéria macroscópica.
  • Além do motivo prático de escala, há também o papel da decoerência quântica: sistemas macroscópicos estão em contínuo contato com o ambiente (fótons, ar, vibrações, etc.), o que destrói rapidamente coerência de fase entre caminhos diferentes — sem coerência não há interferência observável. Em palavras simples: mesmo se, em princípio, toda matéria tem onda associada, as ondas de objetos macroscópicos perdem qualquer possibilidade de produzir padrões de interferência por interação com o ambiente.
  • Conclusão física: não é que a matéria macroscópica “não tenha” caráter ondulatório; ela tem, mas com comprimentos de onda tão pequenos e com perda de coerência extremamente rápida que os efeitos ondulatórios são irrelevantes e inobserváveis em condições práticas.

Passo 9

Resumo final breve (motivacional): você obteve dois números que mostram bem a diferença de regimes. Para partículas leves e rápidas (elétrons, átomos frios) a onda é acessível em experimentos; para corpos cotidianos, a onda é tão curtinha que nem entra na brincadeira experimental. Isso explica por que a mecânica quântica é necessária para o microcosmo, enquanto a física clássica descreve muito bem o mundo que você vê.

Resposta

a) \lambda = 1,12\times10^{-10}\\ \mathrm{m}
b) \lambda = 6,8\times10^{-36}\\ \mathrm{m}

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