Qual o comprimento de onda de De Broglie para:
a) Um elétron com energia cinética de 120 eV ?
b) Uma pessoa de 70 kg caminhando a
?
Discuta os resultados obtidos, especialmente no que concerne à possibilidade de observar efeitos ondulatórios. Existe algum motivo para não termos notado o caráter ondulatório da matéria macroscópica antes?
a) Um elétron com energia cinética de 120 eV ?
b) Uma pessoa de 70 kg caminhando a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
-
Perguntas:
- (a) Calcular o comprimento de onda de De Broglie para um elétron com energia cinética de
. - (b) Calcular o comprimento de onda de De Broglie para uma pessoa de massa
caminhando a . - Discutir os resultados, especialmente sobre a possibilidade de observar efeitos ondulatórios e por que não notamos a ondulatoriedade da matéria macroscópica.
- (a) Calcular o comprimento de onda de De Broglie para um elétron com energia cinética de
-
Dados fornecidos:
- Para (a): energia cinética do elétron
. - Para (b): massa
e velocidade .
- Para (a): energia cinética do elétron
-
Informação adicional necessária (vou usar sem te perguntar): constante de Planck
e massa do elétron . Vou converter unidades quando necessário (por exemplo, para , e para ).
Passo 2
Apresentar a fórmula de De Broglie e explicar o que cada símbolo significa.
A relação de De Broglie é
onde:
-
é o comprimento de onda associado à partícula (em metros); -
é a constante de Planck; vou usar ; -
é o momento linear (momentum) da partícula, medido em .
Explicação didática: a ideia é que toda partícula com momentum
tem associado um comprimento de onda
. Se
é grande,
é pequeno — ondas muito curtinhas são difíceis de detectar. Para partículas não relativísticas, o momentum pode ser obtido por
(massa vezes velocidade) ou, quando a energia cinética
é conhecida, por
onde
é a massa da partícula e
deve estar em joules. Vou usar essa forma para o elétron, porque foi dada a energia; para a pessoa uso
.
Passo 3
Parte (a): preparo das conversões e constantes para o elétron.
- Massa do elétron:
. - Energia cinética dada:
. Converter para joules usando :
(Nesta conta peguei o valor de
do enunciado e converti para joules.)
Agora cálculo do momentum usando a expressão não relativística:
Vou calcular numericamente esse
.
Passo 4
Cálculo numérico do momentum do elétron e verificação da aproximação não relativística.
- Produto dentro da raiz:
Multiplicando obtemos aproximadamente
.
- Portanto
Verificação da hipótese não relativística: a velocidade estimada é
:
que é cerca de
(com
a velocidade da luz). Como
, a fórmula não relativística é adequada aqui.
Passo 5
Cálculo do comprimento de onda de De Broglie para o elétron.
Agora aplico
:
Interpretação prática:
, isto é cerca de
. Essa ordem de grandeza está perto do espaçamento entre átomos em sólidos (algumas décimas de nanômetro), daí elétrons com energias nessa faixa mostram fenômenos de difração e interferência (experimentos de Davisson–Germer, microscopia eletrônica, etc.). Ou seja, os efeitos ondulatórios do elétron são observáveis experimentalmente porque a sua
é comparável às dimensões de estruturas atômicas.
Passo 6
Parte (b): cálculo para a pessoa caminhando.
Primeiro converter a velocidade de
em
:
Momentum clássico da pessoa:
(Aqui peguei
e
convertido a partir do enunciado.)
Passo 7
Cálculo do comprimento de onda de De Broglie para a pessoa.
Aplicando
:
Arredondando,
. Esse valor é absurdamente pequeno: muito, muito menor que o tamanho de átomos (
), e da ordem de grandeza — ou até menor — do comprimento de Planck (
). Em termos práticos experimentais, esse comprimento de onda é inacessível: para observar difração precisa-se de aberturas ou estruturas com dimensões comparáveis a
, o que é impossível para objetos macroscópicos como uma pessoa.
Passo 8
Discussão física e resposta à pergunta conceitual sobre observabilidade e por que não percebemos a ondulatória da matéria macroscópica.
- Regra qualitativa: para observar fenômenos ondulatórios (difração, interferência) o comprimento de onda
deve ser comparável à dimensão das aberturas ou estruturas com que a onda interage. Se for muitíssimo menor que qualquer dimensão experimental disponível, os efeitos de difração são essencialmente nulos. - No caso do elétron com
, , compatível com distâncias atômicas; por isso efeitos ondulatórios de elétrons são observáveis e amplamente usados. - No caso da pessoa,
: nenhum aparato experimental tem fendas ou objetos nessa escala, portanto não há como observar difração ou interferência de uma pessoa; esse é um motivo prático forte para não termos notado o caráter ondulatório da matéria macroscópica. - Além do motivo prático de escala, há também o papel da decoerência quântica: sistemas macroscópicos estão em contínuo contato com o ambiente (fótons, ar, vibrações, etc.), o que destrói rapidamente coerência de fase entre caminhos diferentes — sem coerência não há interferência observável. Em palavras simples: mesmo se, em princípio, toda matéria tem onda associada, as ondas de objetos macroscópicos perdem qualquer possibilidade de produzir padrões de interferência por interação com o ambiente.
- Conclusão física: não é que a matéria macroscópica “não tenha” caráter ondulatório; ela tem, mas com comprimentos de onda tão pequenos e com perda de coerência extremamente rápida que os efeitos ondulatórios são irrelevantes e inobserváveis em condições práticas.
Passo 9
Resumo final breve (motivacional): você obteve dois números que mostram bem a diferença de regimes. Para partículas leves e rápidas (elétrons, átomos frios) a onda é acessível em experimentos; para corpos cotidianos, a onda é tão curtinha que nem entra na brincadeira experimental. Isso explica por que a mecânica quântica é necessária para o microcosmo, enquanto a física clássica descreve muito bem o mundo que você vê.
Resposta
a)
b)