As emissões são observadas em comprimento de onda de
para transições de estados excitados do átomo de hidrogênio para o estado
. Determinar o número quântico
para essa emissão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: comprimento de onda observado
para uma emissão do átomo de hidrogênio que termina em . - Pedido: determinar o número quântico inicial
(ou seja, o do estado excitado de onde vem a transição).
Passo 2
Apresentar a fórmula que relaciona comprimento de onda e níveis de energia do hidrogênio (fórmula de Rydberg) e explicar o que cada termo significa.
A fórmula de Rydberg para a emissão (ou absorção) em hidrogênio é
onde:
-
é o comprimento de onda da radiação (em metros); -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio, com valor aproximado ; -
é o número quântico do nível final (aqui ); -
é o número quântico do nível inicial (aqui é o que queremos achar).
Interpretação física breve e útil: a expressão
é a diferença entre os inversos dos quadrados dos níveis; para emissão tem de ser positiva, logo
.
Passo 3
Converter o comprimento de onda para metros (porque
está em
).
Passo 4
Isolar
(o nosso
) na fórmula de Rydberg e obter uma expressão numérica para calcular.
Partimos de
Colocando
e isolando
:
Agora calculamos numericamente cada termo. Primeiro
:
Multiplicando:
Portanto
Agora
Logo
e
Passo 5
Interpretação do resultado e justificativa da aproximação inteira.
O número quântico principal
deve ser um inteiro positivo. O cálculo deu
, muito próximo de
. Portanto o nível inicial é
.
Para checar, podemos calcular o comprimento de onda esperado para a transição
:
Isso dá
que está bem próximo do valor experimental
(diferença pequena compatível com arredondamentos e aproximações na constante), confirmando que
é a escolha correta.