As emissões são observadas em comprimento de onda de 383,65 \mathrm{~nm} para transições de estados excitados do átomo de hidrogênio para o estado n=2. Determinar o número quântico n h para essa emissão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: comprimento de onda observado \lambda = 383,65\\ \mathrm{nm} para uma emissão do átomo de hidrogênio que termina em n=2.
  • Pedido: determinar o número quântico inicial n_h (ou seja, o n do estado excitado de onde vem a transição).

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona comprimento de onda e níveis de energia do hidrogênio (fórmula de Rydberg) e explicar o que cada termo significa.
A fórmula de Rydberg para a emissão (ou absorção) em hidrogênio é
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação (em metros);
  • R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio, com valor aproximado \;R_H = 1,0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}};
  • n_f é o número quântico do nível final (aqui n_f=2);
  • n_i é o número quântico do nível inicial (aqui é o n_h que queremos achar).
Interpretação física breve e útil: a expressão \dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}} é a diferença entre os inversos dos quadrados dos níveis; para emissão tem de ser positiva, logo n_i>n_f.

Passo 3

Converter o comprimento de onda para metros (porque R_H está em \mathrm{m^{-1}}).
\lambda = 383,65\\ \mathrm{nm} = 383,65\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 3,8365\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolar n_i (o nosso n_h) na fórmula de Rydberg e obter uma expressão numérica para calcular.
Partimos de
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{n_i^{2}}\right).
Colocando n_f=2 e isolando 1/n_i^{2}:
\frac{1}{n_i^{2}} = \frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{R_H\,\lambda}
\frac{1}{n_i^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{R_H\,\lambda}.
Agora calculamos numericamente cada termo. Primeiro R_H\,\lambda:
R_H\,\lambda = \left(1,0973731568508\times10^{7}\right)\left(3,8365\times10^{-7}\right).
Multiplicando:
R_H\,\lambda \approx 4,20779\quad(\text{adimensional}).
Portanto
\frac{1}{R_H\,\lambda} \approx 0,23765.
Agora
\frac{1}{n_i^{2}} = \frac{1}{4} - 0,23765 = 0,25 - 0,23765 = 0,01235.
Logo
n_i^{2} \approx \frac{1}{0,01235} \approx 80,97
e
n_i \approx \sqrt{80,97} \approx 8,999\approx 9{,}0.

Passo 5

Interpretação do resultado e justificativa da aproximação inteira.
O número quântico principal n_i deve ser um inteiro positivo. O cálculo deu n_i\approx8{,}999, muito próximo de 9. Portanto o nível inicial é n_h=9.
Para checar, podemos calcular o comprimento de onda esperado para a transição n=9\to n=2:
\frac{1}{\lambda_{9\to2}} = R_H\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{81}\right) = R_H\cdot\frac{77}{324}.
Isso dá
\lambda_{9\to2} \approx 3,83\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 383{,}3\\ \mathrm{nm},
que está bem próximo do valor experimental 383{,}65\\ \mathrm{nm} (diferença pequena compatível com arredondamentos e aproximações na constante), confirmando que n_h=9 é a escolha correta.

Resposta

n_h = 9

Exercícios relacionados