Calcule o comprimento de onda da série de Balmer considerando como \mathrm{n}_{\text {inicial }}=3 :

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de uma linha da série de Balmer para a transição com número quântico inicial \mathrm{n}_{\text{inicial}}=3.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • \mathrm{n}_{\text{inicial}} = 3.
  • Na série de Balmer, o nível final é \mathrm{n}_{\text{final}} = 2 (sempre: Balmer \Rightarrow n_f=2).
  • Vamos usar a fórmula de Rydberg para linhas espectrais do hidrogênio e o valor conhecido da constante de Rydberg para o hidrogênio \,R_H (valor numérico será indicado no passo de cálculo).

Passo 2

Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo (aula rápida e amigável):
A fórmula de Rydberg para o comprimento de onda \lambda de uma transição eletrônica em hidrogênio é
\frac{1}{\lambda} = R_H\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da luz emitida (em metros, se R_H estiver em \mathrm{m}^{-1}).
  • R_H é a constante de Rydberg para o átomo de hidrogênio (leva em conta a massa finita do próton).
  • n_f é o número quântico do nível final (inteiro positivo).
  • n_i é o número quântico do nível inicial (inteiro positivo e n_i>n_f para emissão).
Explicação da fórmula em palavras: a diferença \dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2} dá a variação de energia em unidades apropriadas, e multiplicando por R_H obtemos o número de onda \dfrac{1}{\lambda}. Inverter dá \lambda.

Passo 3

Substituindo os valores de n_f e n_i na parte adimensional da fórmula e calculando a fração:
\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}.
Fazendo a subtração com denominador comum 36:
\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}.

Passo 4

Isolando \lambda simbolicamente:
\frac{1}{\lambda}=R_H\cdot\frac{5}{36} \qquad\Rightarrow\qquad \lambda=\frac{1}{R_H}\cdot\frac{36}{5}=\frac{36}{5\,R_H}.
Isso é útil porque reduz o cálculo a dividir 36 por 5R_H.

Passo 5

Escolhendo o valor numérico de R_H e fazendo o cálculo numérico (vou usar o valor padrão para o hidrogênio):
R_H \approx 1{,}0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Calculemos 5R_H:
5R_H \approx 5\times 1{,}0967758\times10^{7}=5{,}483879\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Agora
\lambda=\frac{36}{5R_H}\approx\frac{36}{5{,}483879\times10^{7}}.
Fazendo a divisão:
\lambda \approx 6{,}56\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda \approx 6{,}56\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656\\ \mathrm{nm}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: essa linha é a conhecida linha H‑alpha da série de Balmer. Se na prova aparecer \mathrm{n}_i=3 e pedirem Balmer, lembre que \mathrm{n}_f=2 sempre, calcule a diferença \dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{5}{36} e use \lambda=\dfrac{36}{5R_H}. Ter o valor de R_H é necessário para o número final; com o valor tabelado obtem-se cerca de 656{,}3\\ \mathrm{nm}.

Resposta

\lambda \approx 656{,}3\\ \mathrm{nm}

Exercícios relacionados