Empregando a transformada de Laplace resolva os problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=10 \operatorname{senh} 2 t, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o valor inicial do problema
y'' + 2y' - 3y = 10\,\operatorname{sinh}(2t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=4.
O conteúdo é método de Laplace para EDO linear com termos constantes e forçamento \operatorname{sinh}. Vamos usar as tabelas de transformada e propriedades de derivadas.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, usando \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}=\tfrac{2}{s^2-4},
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-0\cdot s - 4\bigr) +2\bigl(sY(s)-0\bigr) -3Y(s) =10\cdot\frac{2}{s^2-4}.
Agrupando termos em Y(s):
(s^2+2s-3)\,Y(s)-4=\frac{20}{s^2-4} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{4}{s^2+2s-3} +\frac{20}{(s^2-4)(s^2+2s-3)}.
Como s^2+2s-3=(s-1)(s+3) e s^2-4=(s-2)(s+2), temos
Y(s)=\frac{4}{(s-1)(s+3)} +\frac{20}{(s-2)(s+2)(s-1)(s+3)}.

Passo 3

Decompondo em frações parciais:
  1. Para \dfrac{4}{(s-1)(s+3)} escrevemos
\frac{4}{(s-1)(s+3)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+3}, A(s+3)+B(s-1)=4 leva a A=1,\;B=-1, logo
\frac{4}{(s-1)(s+3)}=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+3}.
  1. Para \dfrac{20}{(s-2)(s+2)(s-1)(s+3)} supomos
\frac{20}{(s-2)(s+2)(s-1)(s+3)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s-1}+\frac{D}{s+3}.
Substituindo s=2,-2,1,-3 obtemos
A=1,\quad B=\tfrac{5}{3},\quad C=-\!{\!1},\quad D=-\tfrac{5}{3}.
Portanto
\frac{20}{(s-2)(s+2)(s-1)(s+3)} =\frac{1}{s-2} +\frac{5/3}{s+2} -\frac{1}{s-1} -\frac{5/3}{s+3}.
Somando as duas partes,
Y(s) =\Bigl(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+3}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{s-2}+\frac{5/3}{s+2}-\frac{1}{s-1}-\frac{5/3}{s+3}\Bigr),
que simplifica em
Y(s) =-\tfrac{2}{3}\,\frac{1}{s-1} +\frac{1}{s-2} +\tfrac{5}{3}\,\frac{1}{s+2} -2\,\frac{1}{s+3}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo,
y(t) =-\tfrac{2}{3}e^{t} +e^{2t} +\tfrac{5}{3}e^{-2t} -2e^{-3t}.
Verifica-se que y(0)=0 e y'(0)=4, como requerido.

Resposta

y(t)=e^{2t}-\tfrac{2}{3}e^{t}+\tfrac{5}{3}e^{-2t}-2e^{-3t}.

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