Empregando a transformada de Laplace resolva os problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=6 e^{-t}, \quad y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com termo forçante
y'' - 3y' + 2y = 6e^{-t}
e as condições iniciais y(0)=3, y'(0)=3.
Vamos usar transformada de Laplace para converter a EDO em equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando as condições iniciais, temos
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0) = s^2Y(s) -3s -3,
\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0) = sY(s)-3,
\mathcal{L}\{y\} = Y(s), \quad \mathcal{L}\{6e^{-t}\} = \frac{6}{s+1}.
Substituindo na EDO:
\bigl(s^2Y(s)-3s-3\bigr) \;-\;3\bigl(sY(s)-3\bigr)\;+\;2Y(s) \;=\;\frac{6}{s+1}.

Passo 3

Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e isolando o resto, obtemos
\bigl(s^2 -3s +2\bigr)Y(s)\;-\;3s+6 \;=\;\frac{6}{s+1}.
Logo
(s^2-3s+2)\,Y(s) =\frac{6}{s+1}+3s-6.
Como s^2-3s+2=(s-1)(s-2), escrevemos
Y(s) =\frac{6/(s+1)+3s-6}{(s-1)(s-2)}.
Para simplificar, note que
6+(3s-6)(s+1)=3s^2-3s,
então
Y(s) =\frac{3s^2-3s}{(s+1)(s-1)(s-2)} =\frac{3s(s-1)}{(s+1)(s-1)(s-2)} =\frac{3s}{(s+1)(s-2)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em
\frac{3s}{(s+1)(s-2)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-2},
temos
3s = A(s-2)+B(s+1).
Para s=2: 6=3B B=2.
Para s=-1: -3=-3A A=1.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s-2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada parcela, obtemos
y(t)=e^{-t}+2e^{2t}.

Resposta

y(t)=e^{-t}+2e^{2t}.

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