Empregando a transformada de Laplace resolva os problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=4 e^{t}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=4

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = 4e^t,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=4
usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além de \mathcal{L}\{e^t\}(s)=\tfrac1{s-1}.

Passo 2

Aplicando Laplace em toda a equação:
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot2-4\bigr)\;-\;6\bigl(sY(s)-2\bigr)\;+\;9Y(s) \;=\;4\cdot\frac1{s-1}.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e os termos constantes:
(s^2 - 6s + 9)\,Y(s)\;+\;(-2s -4 +12) \;=\;\frac{4}{s-1}.
Como s^2-6s+9=(s-3)^2 e -2s-4+12=-2s+8, obtemos
(s-3)^2\,Y(s) =\frac{4}{s-1}+2s-8 =\frac{2(s^2-5s+6)}{s-1} =\frac{2(s-2)(s-3)}{s-1}.
Logo
Y(s)=\frac{2(s-2)(s-3)}{(s-1)(s-3)^2} =\frac{2(s-2)}{(s-1)(s-3)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em
\frac{2(s-2)}{(s-1)(s-3)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s-3},
temos
2(s-2)=A(s-3)+B(s-1).
Para s=1: -2=-2A\Rightarrow A=1.
Para s=3: 2=2B\Rightarrow B=1.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-3}.

Passo 5

Invertemos a transformada de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac1{s-1}\Bigr\}=e^t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac1{s-3}\Bigr\}=e^{3t}.
Portanto
y(t)=e^t + e^{3t}.

Resposta

y(t)=e^t + e^{3t}.

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